1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные

матрицы

Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения – илисоответственно;

2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения – илисоответственно,;

3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –илисоответственно (элементарное преобразование этого типа называетсятрансвекцией).

В результате применения к матрице элементарного преобразования первого типа её строкии(или столбцыи) поменяются местами; во втором случае строка(или столбец) будет заменена на строку(или столбец); в последнем случае строка(или столбец) будет заменена на строку(или столбец), а строка(столбец) остается неизменной.

Свойства элементарных преобразований.

1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

◄ Пусть в матрице нужно поменять местами, например, строкии. Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

. ►

2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица получена из матрицыс помощью элементарного преобразования, тогда матрицаможет быть получена из матрицыс помощью элементарного преобразования того же самого типа.

◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )^-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

. ►

3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

◄ Действительно, элементарные преобразования ипорождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.17)

Элементарные преобразования ипорождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.18)

Наконец, элементарные преобразования ипорождают одну и туже элементарную матрицу

►

(1.19)

4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

5) Пусть .Проведение в матрице одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка(порядка), отвечающую этому элементарному преобразованию.

◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрицеэлементарных преобразований соответственнои, а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственнои. ►

Лекция IV.

План

1.11 Эквивалентные матрицы

1.12^* Отношение эквивалентности