Философия и л., м., 1974; ш е н ф и л д

Д ж. Р., Математич. Л., пер. с англ., М., 1975; Т а к е у т и Г., Теория доказательств, пер. с англ., М., 1978; Драгалин А.

Г., Математич. интуиционизм. Введение в теорию доказательств, ?., 1979; Крайзель Г., Исследования по теории доказательств, пер. с англ., М., 1981; В е г k а К., К г е i s е г L., Logik —

Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971; Risse W., Bibliographie logica, Bd 1—4, Hildesheim —

N. Y., 1965 — 79. M. M. Новосёлов.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, логика суждений, пропозициональная логика, раздел совр. логики, лежащий в основе большинства её разделов в традиц. их изложении. Осн. объект Л. в. — высказывание, являющееся абстракцией от понятия предложения естеств. языка, в связи с чем Л. в. наз. иногда логикой предложений. Высказывание — это предложение, рассматриваемое в отвлечении от его внутр. (субъектно-предикатной) структуры — исключительно с т. зр. его возможных истин-ностных значений: обычно истины (обозначаемой через «и») или лжи («л»). Т. о., высказывание — это предложение, о к-ром имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Из элементарных высказывании, относительно к-рых вопрос о присвоении им одного из значений «и» или «л» считается заранее решённым, с помощью логических операций (играющих роль союзов и аналогичных им конструкций естеств. языка) строятся сложные высказывания (аналоги сложно-сочинённых и сложноподчинённых предложений), значения истинности к-рых однозначно определяются истинностными значениями исходных высказываний и определением данной логич. операции. В соответствии с «естественной» интерпретацией высказываний и свойствами логич. операций, посредством к-рых они построены, нек-рые из полученных т. о. формул Л. в. оказываются тождественно-истинными (т. е. истинными при всех распределениях истинностных значений ис-ходных элементарных формул); их наз. также тавтологиями. Такие формулы выражают логические законы; их выявление — одна из осн. задач Л. в. Фиксировав нек-рые из них в качестве аксиом с помощью подходящих правил вывода, получают описание Л. в. в виде исчисления высказываний.

• Столл Р.Р., Множества. Логика. Аксиоматич. теории, пер. с англ., М., 1968.

ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ, см. в ст. Диалектика.

ЛОГИКА КЛАССОВ, раздел логики, в к-ром рассматриваются классы (множества) предметов, задаваемые характеристическими свойствами этих предметов (элементов классов). В совр. логике Л. к. может пониматься как «алгебра множеств», т. е. интерпретироваться (см. Интерпретация) как совокупность закономерностей, к-рым удовлетворяют т. н. теоретико-множеств. операции: объединение (сумма), пересечение (произведение) и дополнение множеств, или же как изоморфная этой алгебре (см. Изоморфизм и гомоморфизм) логика одноместных предикатов, в свою очередь понимаемая как частный случай логики предикатов или как расширение логики высказываний.

Изоморфизм упомянутых интерпретаций Л. к. обеспечивается взаимнооднозначным сопоставлением объектов, рассматриваемых в этих интерпретациях: множествам (классам) сопоставляются высказывания о принадлежности к.-л. предмета данному множеству, объединению множеств — конъюнкция соответствующих высказываний, пересечению — их дизъюнкция, а дополнению — отрицание. Рассматривая модель (реализацию, интерпретацию) Л. к. на предметной области, состоящей из одного-единственного элемента, вопрос об истинности или ложности к.-л. формулы Л. к. можно свести к вопросу относительно соответствующей формулы логики высказываний, подобно к-рой Л. к. оказывается, т. о., разрешимой. Поэтому в совр. логике Л. к, ЛОГИКА 319 трактуют как одноместный фрагмент логики предикатов, изоморфный логике высказываний.

• см. к ст. Логика.

ЛОГИКА НАУКИ, в спец. смысле дисциплина, применяющая понятия и технич. аппарат совр. формальной логики к анализу систем науч. знания. Термин «Л. н.» часто употребляется также для обозначения законов развития науки (логика науч. развития), правил и процедур науч. исследования (логика исследования), учения о психологич. и методологич. предпосылках науч.

открытий (логика

науч. открытия).

Л. н. как спец. дисциплина начала развиваться в сер. 19 в. и окончательно оформилась в 1-й четв. 20 в. под влиянием идей Фреге, Рассела и Витгенштейна. В 30-х гг. интенсивно Л. н. занимались участники Венского кружка, а также др. философы, естествоиспытатели и математики (К. Поппер, В.

Дубислав, X. Рей-хенбах и др.). Т. к. в подавляющем большинстве они стояли на позициях неопозитивизма, то на протяжении многих лет было широко распространено мнение, что Л. н. является специфически позитивистским подходом к филос. и методологич. анализу науч. знания. Од-нако в действительности неопозитивистская интерпретация Л. н. представляет собой частный вариант её филос. истолкования, в значит. степени преодоленный уже к кон. 50-х — нач. 60-х гг. За рубежом исследования по Л. н. ведутся преим. в рамках аналитич. философии, критич. рационализма и феноменологии, распространяясь не только на естествознание, но и на область обществ. наук, этики и теории познания.

В разработке совр. Л. н. активное участие принимают философы и логики, стоящие на позициях диа-лектич. материализма. В их работах центр. место занимают логич. анализ систем науч. знания, исследования по индуктивной логике, логич. структуре теоретич. и эмпирич. знания естеств. и обществ. наук.

Круг осн. проблем Л. н. охватывает: 1) изучение логич. структур науч. теорий; 2) изучение построения искусств. (формализованных) языков науки; 3) исследование различных видов дедуктивных (см. Дедукция) и индуктивных (см. Индукция) выводов, применяемых в естеств., социальных и технич. науках; 4) анализ формальных структур исходных и производных науч. понятий и определений; 5) рассмотрение и совершенствование логич. структуры исследоват. процедур и опе-раций и разработка логич. критериев их эвристич. эффективности;

6) исследование логико-гносеологич. и логико-методологич. содержания процессов абстрагирования, объяснения, предвидения, экстраполяции и редукции науч. теорий, наиболее часто применяемых во всех сферах науч. деятельности.

Важным средством логич. анализа систем науч. знания является применение методов формализации.

Преимущество метода формализации заключается в том, что он позволяет выявить логич. связи и отношения и точно фиксирует правила, гарантирующие получение достоверных знаний из исходных посылок данной теории, выступающих после определ. логич. обработки в качестве аксиом рассматриваемого формализма. В случае дедуктивных теорий речь идёт о правилах необходимого следования. Дедуктивное построение теории чаще всего встречается в математике, теоретич. физике, теоретич. биологии и в нек-рых др. науч. дисциплинах. Правила индуктивных теорий характеризуют различные формы вероятностного следования. Индуктивные теории характерны для большинства эмпирич. наук, в к-рых возникают ситуации неопределённости, связанные с неполнотой информации о связях, свойствах и отношениях исследуемых объектов. Создание формализованных систем позволяет исследовать ряд важнейших логич. свойств содержат.

тео-

320 ЛОГИКА

рий, отображённых в данном формализме. К ним прежде всего относятся непротиворечивость, полнота и независимость исходных постулатов данной теории. Обнаружение общности логич. структур различных в содержат. смысле науч. теорий открывает большие возможности для перенесения идей и методов одной теории в область другой, для обоснования возможности сведения одной теории к другой и выявления их общих понятийных и методологич. предпосылок. Это важно для унификации и упрощения систем науч. знания, особенно в условиях быстрого возникновения и развития новых науч. дисциплин. Особое место в Л. н. занимают проблемы, связанные с эмпирич. обоснованием и проверкой естеств.-науч. и социальных теорий и гипотез. Интенсивные исследования в этой области показали несостоятельность раннего неопозитивистского принципа полной верифицируемости (см.

Верификация), так же как и критерия фальсифицируемости (см. Фальсификация). Затруднения, возникшие в неопозитивистской Л. н., привлекли внимание мн. логиков и философов к проблеме связи и взаимодействия логич. структур со структурами предметно-экспериментальной практич. деятельности, что обусловило целый ряд новых подходов к Л. н. Этим в значит. степени объясняется наметившийся среди зарубежных логиков интерес к принципам теории познания диалектич. материализма.

Особый интерес приобретают исследования по логич. семантике, посвящённые изучению смыслов и значений теоретич. и эмпирич. терминов в языках различ. наук. Обнаружение того, что теоретич. предикаты, с помощью к-рых выражаются понятия и формулируются законы определ. науч. теорий, не сводятся исчерпывающим образом к предикатам наблюдения, фиксирующим результаты непосредств. науч. наблюдений и экспериментов, выдвинуло целый ряд сложных проблем.

Важнейшими среди них являются проблемы логич. анализа словарей разл. наук, правил перевода языка теории на язык наблюдений, исследования взаимодействия и соотношения естеств. и искусств. языков и т. д. В связи с этим особую важность приобретают работы по изучению семантики таких терминов, как «система», «структура», «модель», «измерение», «вероятность», «факт», «теория» и т. д. Многозначность и различные способы их употребления, обнаружившиеся в связи с быстрым развитием кибернетики, структурной лингвистики, теории систем и т. п., делают логико-методологич. анализ необходимой предпосылкой эвристич. использования подобных понятий.

Последний период (с кон. 50-х гг.) был переломным для развития Л. н. не только вследствие осознания принципиальной ограниченности её неопозитивистской интерпретации, но также и в силу того, что в этот период были сделаны наиболее значит. шаги для распространения идей и методов логич. анализа на область социальных наук.

• Проблемы логики науч. познания, М., 1964; Логика науч. исследования, М., 1965;

? ? п о в и ч М. В., О филос. анализе языка науки, К., 1966; Копнин П. В., Логич. основы науки, К., 1968; Ракитов А. И., Анатомия науч. знания. (Популярное введение в логику и методологию науки), М., 1969; его ж е, Курс лекций по Л. н., М., 1971; его же, Филос. проблемы науки, М., 1977; Логико-филос. анализ понятийного аппарата науки, К., 1977;

Логич. проблемы исследования науч. познания. Семантич. анализ языка. Сб. ст., М., 1980; Smart H. R., The logic of science, N. ?.— L., 1931; Northrop F. S. С., The logic of the sciences and the humanities, N. Y., 1948; Popper K. R., The logic of scientific discovery, N. Y.—L., 1959;

Harre R., An introduction to the logic of the sciences, L. — N. Y., 1966; Durbin P. R., Logic and scientific inquiry, Milwaukee, 1968; Agassi J., The logic of scientific inquiry «Synthese», 1974, v. 26, № 3—4, p. 498—514; Hesse М. В., The structure of scientific inference, Berk.— Los Ang., 1974; Trusted J., The logic of scientific interference. An introduction, L.— Basingstoke, 1979. А. И. Pакиmoв.

ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ, раздел логики, посвящённый изучению отношений между объектами

различной природы. Эти отношения выражаются сказуемыми и аналогичными им словами

в

предложениях естеств. язы-

ков. В зависимости от числа объектов, связанных данным отношением, говорят о двуместных (двучленных, бинарных), трёхместных (трёхчленных, тернарных), вообще n-местных (n-членных, n-арных) отношениях, к-рые в терминах теории множеств определяются соответственно как классы упорядоченных пар, троек, ...n-ок предметов нек-рой предметной области. Особенно важны бинарные отношения (если пара <х,y> принадлежит отношению R, то говорят, что ? находится в отношении R к у), посредством к-рых определяются такие, напр., важнейшие понятия логики и математики, как понятия функции и операции. Вводя для бинарных отношений теоретико-множеств. операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения, получают «алгебру отношений» (синоним термина «Л. о.»), роль единицы в к-рой играют отношения эквивалентности (равенства, тождества), обладающие свойствами рефлексивности (для всех x верно xRx), симметричности (из xRy следует yRx) и транзитивности (из xRy и yRz следует xRz). Теория бинарных отношений допускает геометрич. интерпретацию в виде т. н. теории графов. На языке совр. математич. логики понятие отношения выражается посредством понятия многоместного предиката; поэтому Л. о. (исключая упомянутые выше алгебраич. и геометрич. её аспекты) потеряла самостоят. значение и является по существу составной частью логики предикатов. * Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, функциональная логика, квантор пая логика, осн. раздел математич. логики, средствами к-рого строятся многие др. её разделы. Л. п., в отличие от логики высказываний, расширением к-рой она является, учитывает не только связи между предложениями (выска-зываниями), но и их субъектно-предикатную структуру: выделяются аналоги подлежащих в предложениях естеств. языков (т. н. термы) и аналоги сказуемых — предикаты. Для этой цели выразит. средства логики высказываний пополняются спец. символами для обозначения предикатов и термов, а дедуктивные средства — правилами образования и преобразования выражений, содержащих эти символы. В Л. п. вводят также спец. операторы — кванторы. Аксиоматич. построе-ние Л. п. в виде исчисления предикатов включает аксиомы и правила вывода, позволяющие преобразовывать кванторные формулы и строить формальные доказательства (напр., система аксиом и правил вывода для исчисления высказываний пополняется схемами аксиом). Добавление к аппарату исчисления предикатов различных спец. постоянных и переменных термов с характеризующими полученную предметную область конкретными аксиомами и схемами аксиом приводит к различным видам прикладных исчислений предикатов, служащих формализациями различных логико-математич. теорий арифметики, алгебры, анализа, геометрии и др.

разделов

математики.

Для Л. п. и теорий, построенных на её основе, доказан ряд важных метатеорем, характеризующих их осн. свойства (см. Метатеория, Независимость, Непротиворечивость, Полпота).

• К лини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Ч ё ? ч А., Введение в математич. логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960 (библ.); Мендельсон Э., Введение в математич. логику, пер. с англ., М., 1971; Новиков П. С., Элементы математич. логики, ?., 19732.

ЛОГИСТИКА (греч. ?????????), 1) этап в развитии математич. логики, связанный с работами школы Б. Рассела (см. Логицизм); 2) архаический (идущий от Лейбница) синоним термина «математич. логика»; 3) в антич. математике под Л. понимали совокупность известных в то время вычислит.(в арифметике) и измерит. (в геометрии) алгоритмов — в отличие от развиваемой путём содержат. рассуждений «теоретич. математики». Под логистич. методом понимают метод по-строения формальной логики путём построения логистич. систем (иначе —

исчислений, формальных

систем).

• Ч ё ? ч А., Введение в математич. логику, пер. с англ., т. 1, ЛОГИЦИЗМ, направление в логико-филос. основаниях математики, исходящее из выдвинутого Лейбницем тезиса о «сводимости математики к логике», согласно к-рому математика изучает т. н. аналитич. истины, т. е. утверждения, «истинные во всех возможных мирах». В систематич. виде доктрина Л. была изложена Фреге в «Осн. законах арифметики» («Grundgesetze der