Лекция дискрет 13
.pdfВзадаче использованы 24 переменных утверждения вида «Студентка Х посетила занятия в k-ый день недели»:
|
Xk XА, Б, В, Г}, k 1, 2, 3, 4, 5, 6} |
|
5. |
Если Алла или Галя будут на |
(A3 Г3) В5 |
занятиях в среду, то Валя сможет пойти |
|
|
в пятницу |
|
|
6. |
Если Галя в пятницу вместо занятий |
¬Г5 (A2 & В4) |
пойдёт на свадьбу сестры, то Алле |
|
|
придётся пойти в университет во |
|
|
вторник, а Вале – в четверг |
|
|
|
|
|
7. |
Во вторник, среду, четверг и пятницу |
Xk & Yk 0 |
девушки ходят на занятия по одной |
k 2, 3, 4, 5}, X Y |
|
8. |
Каждая девушка в течение вторника, |
Xk & Xn 0 |
среды, четверга и пятницы сходит на |
k, n 2, 3, 4, 5}, k n |
|
занятия ровно один раз |
|
|
|
|
|
Приводим все формулы к булевскому виду: |
(уравнений больше, |
||
чем неизвестных!) |
|||
|
|
||
(1а) A1 & Б1 & В1 & Г1 |
|
(2) ¬В2 & ¬Г2 |
|
(1б) ¬A6 & ¬Б6 & ¬В6 & ¬Г6 |
(3) (¬В3 & ¬Г4) Б5 |
||
24 формулы |
|
(4) A4 Б3 |
|
|
|
||
(7) Xk & Yk 0 k 2, 3, 4, 5}, X Y |
(5) (¬A3 & ¬Г3) В5 |
||
24 формулы |
|
|
|
(8) Xk & Xn 0 |
(6) Г5 (A2 & В4) |
||
k, n 2, 3, 4, 5}, k n |
|
|
|
|
|
|
|
Переменные с индексами 1 и 6 в условиях (2)-(8) не используются, из (1а) и (1б) получаем: A1 = Б1 = В1 = Г1 = 1; A6 = Б6 = В6 = Г6 = 0
Необходимо решить уравнение F = (2) & (3) & (4) & (5) & (6) = 1 при условиях вида (7) и (8)
(Было 24, осталось 16 неизвестных)
Решаем уравнение, используя (7) и (8):
F = (2) & (3) & (4) & (5) & (6) =
=¬В2 & ¬Г2 & ((¬В3 & ¬Г4) Б5) & (A4 Б3) &
&((¬A3 & ¬Г3) В5) & (Г5 (A2 & В4)) =
Фрагмент: (5) & (6) =
=((¬A3 & ¬Г3) В5) & (Г5 (A2 & В4)) =
=(A2 & A3 & В4 & Г3) (А3 & Г3 & Г5)
(А2 & В4 & В5) (В5 & Г5) =
=(A2 & A3 & В4 & Г3) (А3 & Г3 & Г5)
F = …….. = А2 & Б3 & В4 & Г5
|
|
День недели |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Алла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бэлла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Валя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Галя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Принцип двойственности
Функция f1(x1, x2, … , xn) называется двойственной к функции f2(x1, x2, … , xn), если для любых наборов значений аргументов x1, x2, … , xn выполнено равенство
f1(x1, x2, … , xn) = ¬f2(¬x1, ¬x2, … , ¬xn) (☻)
В частности, при значениях аргументов ¬x1, ¬x2, … , ¬xn равенство (☻) принимает вид
f1(¬x1, ¬x2, … , ¬xn) = ¬f2(¬¬x1, ¬¬x2, … , ¬¬xn)
Применяя отрицание к обеим частям этого равенства
¬f1(¬x1, ¬x2, … , ¬xn) = ¬¬f2(¬¬x1, ¬¬x2, … , ¬¬xn) ¬f1(¬x1, ¬x2, … , ¬xn) = f2(x1, x2, … , xn) (☻☻)
Функция f2 двойственна к функции f1 
Отношение двойственности функций симметрично
Двойственная к f функция – f*
Th.3.3.2
f(x1, x2, … , xn) |
представлена |
Φ(x1, x2, … , xn) |
||
f*(x , x , … , x ) |
представлена |
Φ*(x , x , … , x ) |
||
1 2 |
n |
|
1 2 |
n |
Если Φ(x1, x2, … , xn) = f(f1(x11, … , x1p1), .. , fm(xm1, … , xmpm),
то Φ*(x1, x2, … , xn) = f*(f1*(x11, … , x1p1), … , fm*(xm1, … , xmpm)
Следствие: Принцип двойственности
Если в формуле Φ, представляющей функцию f, все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных им функций, то полученная формула Φ* будет представлять функцию f*, двойственную f
Доказательство Th.3.3.2
По определению По условию
Φ*(x1, x2, … , xn) = ¬Φ(¬x1, ¬x2, … , ¬xn) =
(3.2.6)
= ¬f(f1(¬x11, … , ¬x1p1), .. , fm(¬xm1, … , ¬xmpm) =
По определению
= ¬f(¬¬f1(¬x11, … , ¬x1p1), .. , ¬¬fm(¬xm1, … , ¬xmpm) =
= ¬f(¬f |
*(x |
11 |
, … , x |
1p |
|
), .. , ¬f |
*(x |
m1 |
, … , x |
mp |
) = |
[ y |
i |
= f *(… ) ] |
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ¬f(¬y |
, … , ¬y ) = f*(y |
, … , y |
|
) = |
Вновь [ y |
i |
= f *(… ) ] = |
||||||||||||
|
1 |
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
i |
||
= f*(f1*(x11, … , x1p1), .. , fm*(xm1, … , xmpm)
Доказано Th.3.3.2
Нахождение двойственной функции для f(x1,x2, … , xn) 1) Составим систему (всего – 2n) равенств вида
f(x1,x2, … , xn) = ¬f*(¬x1,¬x2, … , ¬xn)
f(0,0,…,0) = ¬f*(1,1,…,1) = α0 |
f*(0,0,…,0) = ¬α2n |
f(0,0,…,1) = ¬f*(1,1,…,0) = α1 |
f*(0,0,…,1) = ¬α2n-1 |
………………………………… |
………………….. |
f(1,1,…,0) = ¬f*(0,0,…,1) = α2n-1 |
f*(1,1,…,0) = ¬α1 |
f(1,1,…,1) = ¬f*(0,0,…,0) = α2n |
f*(1,1,…,1) = ¬α0 |
2) Вектор (¬α2n, ¬α2n-1, … , ¬α1, ¬α0) однозначно определяет функцию f*(x1,x2, … , xn)
Двойственность функций из Р2(1) и Р2(2)
ψ |
(0,0) |
= ¬f*(1,1) = 1 |
f*(0,0) = 1 |
8 |
|
|
|
ψ |
(0,1) |
= ¬f*(1,0) = 0 |
f*(0,1) = 1 |
8 |
|
|
|
ψ |
(1,0) |
= ¬f*(0,1) = 0 |
f*(1,0) = 1 |
8 |
|
|
|
ψ8(1,1) |
= ¬f*(0,0) = 0 |
f*(1,1) = 0 |
|
ψ |
(0,0) = ¬f*(1,1) = 0 |
f*(0,0) = 0 |
5 |
|
|
ψ |
(0,1) = ¬f*(1,0) = 1 |
f*(0,1) = 1 |
5 |
|
|
ψ |
(1,0) = ¬f*(0,1) = 0 |
f*(1,0) = 0 |
5 |
|
|
ψ |
(1,1) = ¬f*(0,0) = 1 |
f*(1,1) = 1 |
5 |
|
|
f*(x,y) = = ψ14(x,y)
5 |
самодвойственная |
функцияψ |
|
Двойственность для функций , &, ¬ и констант
ψ |
(0,0) = ¬f*(1,1) = 0 |
f*(0,0) = 0 |
1 |
|
|
ψ |
(0,1) = ¬f*(1,0) = 0 |
f*(0,1) = 1 |
|
1 |
|
|
|
ψ |
(1,0) = ¬f*(0,1) = 0 |
f*(1,0) = 1 |
|
1 |
|
|
|
ψ |
(1,1) = ¬f*(0,0) = 1 |
f*(1,1) = 1 |
|
1 |
|
|
|
ψ |
(0,0) = ¬f*(1,1) = 0 |
f*(0,0) = 1 |
|
0 |
|
|
|
ψ |
(0,1) = ¬f*(1,0) = 0 |
f*(0,1) = 1 |
|
0 |
|
|
|
ψ |
(1,0) = ¬f*(0,1) = 0 |
f*(1,0) = 1 |
|
0 |
|
|
|
ψ |
(1,1) = ¬f*(0,0) = 0 |
f*(1,1) = 1 |
|
0 |
|
|
|
|
(0) = ¬f*(1) = 1 |
f*(0) = 1 |
|
2 |
|
|
|
|
(1) = ¬f*(0) = 0 |
f*(1) = 0 |
|
2 |
|
|
|
f*(x,y) = = ψ7(x,y)
f*(x,y) = = ψ15(x,y)
самодвойственная функция отрицания