Лекция дискрет 14
.pdf
Лекция № 14 09 декабря 2015 г.
Глава 4. Аксиоматические теории
Взаимоотношения между канторовской теорией множеств и математикой подобны течению настоящей любви: они никогда не протекали гладко
(Стефан Клини)
Конец XIX века – противоречия в разделах канторовской теории множеств и её приложениях
Множество М1 имеет мощность бóльшую, чем множество М2, если
М2 равномощно некоторому
подмножеству множества М1 неверно, что М1 М2
Th.1.4.8 (Обобщённая теорема Кантора)
Для любого множества мощность его булеана больше, чем мощность самого множества
Множество ВСЕХ множеств U - парадокс Кантора (1899)
B (U) U 
B (U) меньше, чем U
B (U) больше, чем U
Парадокс брадобрея – интерпретация парадокса Рассела (1902)
В некотором городе есть единственный брадобрей, который бреет всех мужчин города, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя?
Если да (то есть парикмахер должен брить себя сам), то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, то он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Таким образом, парикмахер бреет себя в том и только в том случае, когда он не бреет себя.
Семантические парадоксы (высказывания, которые нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным)
Парадокс миссионера
Миссионер, очутившийся среди людоедов, обнаруживает, что он угодил как раз к обеду. Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если высказывание окажется истинным, его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что надо сказать миссионеру?
Парадокс миссионера
Миссионер, очутившийся среди людоедов, обнаруживает, что он угодил как раз к обеду. Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если высказывание окажется истинным, его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что надо сказать миссионеру?
Вы меня зажарите!
Метаматематика - раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин
«метаматематика» буквально означает
«за пределами математики».
§ 4.1. Основные понятия. Исчисление высказываний
1) Определения
Аксиоматическая теория (формальная теория, исчисление) Т считается определённой, если заданы:
1.Счётное множество символов – алфавит теории; конечные последовательности символов алфавита – выражения теории Т
2.Подмножество множества выражений теории – формулы теории Т
3.Конечное подмножество множества формул – аксиомы теории Т
4.Конечное множество правил вывода теории Т
Правило вывода в аксиоматической теории
Правило вывода теории Т – отношение на множестве формул этой теории: R ( F1 , F 2 , …. , Fn , C )
Если формулы F1 , F 2 , …. , Fn , C находятся в отношении R, то формула C - непосредственно выводимая из формул F1 , F 2 , …. , Fn по правилу R
F1 , F 2 , …. , Fn |
(R) |
||
|
C |
|
|
|
|
||
F1 , F 2 , …. , Fn - посылки правила R |
|
||
C – следствие (заключение) правила R |
|
||