Лекция дискрет 14

Вывод формулы B из формул

A 1 ,A 2 , … ,A n в аксиоматической теории Т

Последовательность формул F 1 ,F 2 , … ,F m такая что:

(1) F m есть B

(2) любая F i (i = 1 ….. m):

либо одна из аксиом теории Т

либо одна из исходных формул A 1 ,A 2 , … ,A n

либо непосредственно выводима из F 1 ,F 2 , … ,F i – 1

по одному из правил вывода теории Т

Обозначение: A 1 ,A 2 , … ,A n ├ B

A 1 ,A 2 , … ,A n – посылки или гипотезы вывода

B - формула, выводимая из посылок A 1 ,A 2 , … ,A n

Теоремы и доказательства формул аксиоматической теории

Доказательством формулы B в аксиоматической теории Т, называется вывод формулы B из пустого множества посылок (гипотез), т.е. ├ B

Формула, для которой существует доказательство в аксиоматической теории Т, называется доказуемой в теории Т или теоремой теории Т

Th.4.1.1: и Γ – множества формул теории Т, A и B -

формулы теории Т

(1)Если Γ и ├ A , то имеет место вывод Γ├ A

Доказательство По определению вывода A 1 , … ,A n├ A не требуется использовать все посылки A 1 , … ,A n

!Возможность расширения множества посылок вывода

Теорема Пифагора: Если треугольник ABC со сторонами a, b и c – прямоугольный, то a2 + b2 = c2

Расширение множества условий теоремы Пифагора: Если треугольникABC со сторонами a, b и c – прямоугольный, пушистый и покрашен в зелёный цвет, то a2 + b2 = c2

Здесь: = { треугольник ABC со сторонами a, b и c: (1) прямоугольный }

Γ = { треугольник ABC со сторонами a, b и c: (1) прямоугольный, (2) пушистый, (3) покрашен в зелёный цвет }

Th.4.1.1: и Γ – множества формул теории Т, A и B -

формулы теории Т

(2)Γ├ A тогда и только тогда, когда в Γ существует конечное подмножество такое, что ├ A

Доказательство

( ) Если существует конечное Γ такое, что ├ A , то, применяя Th.4.1.1(1), получим Γ├ A

( ) По определению, вывод – конечная последовательность формул, значит, в нём может быть использовано лишь конечное множество посылок

!Конечность используемого в выводе множества посылок

Th.4.1.1: и Γ – множества формул теории Т, A и B - формулы теории Т

(3) Если ├ A и для любого B Γ ├ B , то Γ├ A

Доказательство

В выводе ├ A вместо каждой из посылок B

подставим её вывод Γ ├ B , получим вывод Γ├ A

!Транзитивностьформул свойства выводимости

Назначение символов алфавита исчисления L

Пропозициональные Простые (неделимые) переменные буквы утверждения

Логическая связка ┐А Составное утверждение «Неверно, что имеет место А»

Логическая связка А В Составное утверждение «Если А, то В»

Логическая связка А & В Составное утверждение «Имеют место оба утверждения А и В»

Логическая связка А В Составное утверждение «Имеет место хотя бы одно из утверждений А и В»

Логическая связка А В Составное утверждение «А и В – равносильные утверждения»

Круглые скобки ( ) Указание необходимого порядка применения логических связок

Значение пропозициональных букв и результатов применения примитивных логических связок исчисления L

Значения