Таким образом, есть возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию – через конъюнкцию и отрицание. Законы де Моргана и следствия из них справедливы для любого количества переменных.

6.3. Способы представления логических функций

Табличный способ является максимально наглядным, но в случае сложных функций алгебры логики (ФАЛ) он недостаточно компактен.

Аналитический (алгебраический) способ представления логической функции

Аналитический (алгебраический) способ представления логической функции – это аналитическая запись функции в виде формулы, по которой можно реализовать логическое устройство, состоящее из логических элементов, каждый из которых реализует элементарную логическую операцию. В результате операции, выполняемой логическим элементом, на его выходе появляется сигнал «да» – 1 или «нет» – 0, таким образом, это действие может быть выражено двоичным кодом.

Любая сложная логическая операция может быть разложена на элементарные логические функции – «НЕ» (логическое отрицание), «ИЛИ» (дизъюнкция), «И» (конъюнкция). Например,

f1(x1, x2 , x3) = x3 + x1 x2 + x2 x3 + x1 x2 x3

f2 (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 ) (x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )

Макстерм H (дизъюнктивный терм) – это ЛФ, связывающая все переменные в прямой и инверсной форме (литералы) знаком дизъюнкции (например, для f2 (x1, x2 , x3 ) : x1 + x2 + x3 – макстерм

максимального ранга, так как присутствуют все переменные функции). Элементарная сумма – это дизъюнкция нескольких переменных или их отрицаний (например, дляf2(x1, x2, x3): x1 + x2 ).

Минтерм F (конъюнктивный терм) – это ЛФ, связывающая все переменные в прямой и инверсной форме (литералы) знаком конъюнкции (например, для f1(x1, x2, x3): x1 x2 x3 – минтерм

максимального ранга, так как присутствуют все переменные функции). Элементарное произведение – это конъюнкция нескольких переменных или их отрицаний (например, для f1(x1, x2, x3):

x2 x3 ).

Нормальные формы аналитического представления ЛФ:

•нормальная дизъюнктивная форма (НДФ) – это ∑Fi или Fi, где Fi – минтермы любого

Любая совершенная нормальная форма (СНФ) отличается от нормальной тем, что всегда содержит термы только максималь-ного ранга и дает однозначное представление логической функции.

34

f (x1, x2 , x3 ) = x1 x2 (x3 + x3 ) + x1 x2 x3 + x1 x3 (x2 + x2 ) =

= x1 x2 + x1 x2 x3 + x1 x3

Теперь для реализации логического устройства вместо пяти логических элементов, производящих конъюнкцию, потребуются только три (рис. 3).

Рис. 3

CНКФ функции:

f(x1, x2 , x3 ) = H2 (0,1, 0) & H5 (1, 0,1) & H7 (1,1,1) =

=(x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 )

Для реализации логического устройства по СНКФ функции потребуются три логических элемента, производящих дизъюнкцию, и один логический элемент – конъюнкцию (рис. 4).

Рис. 4

Используя соответствующие преобразования, СНКФ функции можно привести к ее СНДФ.

Преобразование нормальных форм логической функции в совершенные нормальные формы

Преобразование НДФ логической функции в СНДФ. НДФ логической функции представлена минтермами не только максимального ранга, поэтому, чтобы преобразовать НДФ функции в СНДФ, т.е. получить все минтермы только максимального ранга, необходимо произвести конъюнкцию каждого минтерма НДФ с логической суммой (дизъюнкцией) недостающей в минтерме логической переменной и ее инверсии. Так как дизъюнкция логической переменной и ее инверсии равна логической единице, то такое действие не изменит результат минтерма. Если максимальный ранг для функции равен r (функция r переменных), а ранг i-го минтерма равен k, где k < r, то преобразование необходимо применить к i-му минтерму r − k раз.

П р и м е р. Преобразовать НДФ логической функции f (x1, x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x2 x3 + x1 x3 в СНДФ:

f(x1, x2, x3)= x1 x2 + x1 x2 x3 + x1 x3

37

F1 F2 F3

Так как минтерм F2 имеет максимальный ранг, то преобразования необходимо применить только к минтермам F1 и F3:

F1 = x1 x2 (x3 + x3 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 F3 = x1 x3 (x2 +x2 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3

СНДФ данной функции:

f (x1, x2 , x3 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 +

+ x1 x2 x3

Преобразование НКФ логической функции в СНКФ. НКФ логической функции представлена макстермами не только максимального ранга, поэтому, чтобы преобразовать НКФ функции в СНКФ, т.е. получить все макстермы только максимального ранга, необходимо произвести дизъюнкцию каждого макстерма НКФ с конъюнкцией недостающей в макстерме логической переменной с ее инверсией. Так как конъюнкция логической переменной с ее инверсией равна логическому нулю, то такое действие не изменит результат макстерма. Если максимальный ранг для функции равен r (функция r переменных), а ранг i-го макстерма равен k, где k < r, то преобразование необходимо

Так как макстерм H3 имеет максимальный ранг, то преобразования необходимо применить только к макстермам H1 и H2:

H1 = (x1 + x2 ) +x3 x3 = (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) H2 = (x2 + x3 ) + x1 x1 = (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 )

СНДФ данной функции:

f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) &

(x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) = (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) &

(x1 + x2 + x3 )

Представление логической функции таблицей истинности по совершенным нормальным формам

По СНДФ и СНКФ можно представить функцию таблицей истинности. Например, представить логическую функцию таблицей истинности по CНДФ:

f (x1, x2 , x3 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 ,

f (x1, x2 , x3 ) = F5 (1, 0,1) + F3 (0,1,1) + F4 (1, 0, 0)

Таблица истинности будет следующей:

Например, представить логическую функцию таблицей истинности по СНКФ:

f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) & (x1 + x2 + x3 ) f (x1, x2 , x3 ) = H2 (0,1, 0) & H4 (1, 0, 0) & H5 (1, 0,1)

38