
- •1. Информатика как наука
- •1.1. Общее представление об информации
- •1.2. Свойства информации
- •Контрольные вопросы
- •2. Организация компьютерной системы
- •2.1. Основные принципы построения компьютерной системы
- •2.2. Основные блоки фон-неймановской компьютерной системы
- •2.3. Архитектура компьютерной системы
- •2.4. Основные компоненты компьютерной системы
- •2.5. Программное обеспечение
- •Контрольные вопросы
- •Двоичная система кодирования
- •3.2. Системы счисления
- •Позиционные системы счисления
- •3.3. Правила двоичной арифметики. Операция сдвига по разрядной сетке
- •3.4. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •Контрольные вопросы
- •Варианты практических заданий по теме «Системы счисления»
- •4. Формы представления данных в компьютере
- •4.1. Форма представления двоичных чисел с фиксированной запятой
- •Примеры записи двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах
- •4.2. Форма представления двоичных чисел с плавающей запятой
- •Операция денормализации/нормализации (стандарт IEEE 754)
- •4.3. Представление символьной информации в компьютере
- •Контрольные вопросы
- •Варианты практических заданий по теме «Формы представления данных в компьютере»
- •5. Операционные системы
- •5.1. Назначение и функции операционной системы
- •5.2. Структуры операционных систем
- •5.3. Операционная среда Windows
- •Контрольные вопросы
- •6. Основы алгебры логики
- •6.1. Основные понятия алгебры логики
- •6.2. Двойственные аксиомы и теоремы алгебры логики
- •6.3. Способы представления логических функций
- •Контрольные вопросы
- •Варианты практических заданий по теме «Основы алгебры логики»
- •Библиографический список

1 × 0 = 0
1 × 1 = 1
Например, умножение 510 × 310 = 1510: 101
× 11 101
+101
1111
Правила деления двоичных чисел
Деление двоичных чисел производится по правилам умножения и вычитания. Например,
деление 610 : 310 = 210: 110 : 11 = 10
11011
-11 10
00
Операция сдвига по разрядной сетке
В компьютерах, кроме операции алгебраического суммирования двоичных чисел, к которой относятся операции сложения и вычитания, выполняется операция сдвига числа по разрядной сетке влево и вправо, осуществляющая, фактически, умножение и деление двоичных чисел. В случае сдвига влево осуществляется умножение двоичного числа на 2j, а при сдвиге вправо – деление нацело на 2j, где j – количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число. Например, осуществить сдвиг на два разряда:
1)0000112 = 310 влево 0011002 = 1210, т.е. 3 × 4(22) = 1210
2)0010002 = 810 вправо
0000102 = 210, т.е. целая часть от деления – 8 : 4(22) = 210
3)0010012 = 910 вправо
0000102 = 210, т.е. целая часть от деления – 9 : 4(22) = 210
3.4. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Для перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую применяются определенные правила, зная которые можно легко разработать алгоритм перевода числа из любой позиционной системы счисления (q ≥ 2) в другую с последующей реализацией его на каком-либо языке программирования.
Общие правила перевода чисел заключаются в следующем: целая часть числа последовательно делится нацело, а дробная умножается на основание той системы счисления, в которую переводится число; остатки от последовательного деления представляют собой цифры числа в новой системе счисления и записываются в обратном порядке; при умножении целые части полученных чисел представляют собой цифры дробной части числа в новой системе счисления, записываются в прямом порядке; умножение производятся либо до заданной точности числа в новой системе счисления, либо до получения нулевого значения дробной части; деление и умножение производится в исходной системе, а результат записывается в новой системе счисления. Полученные значения чисел в новой системе счисления можно проверить, используя
равенство аддитивной системы счисления.
Например: перевести число 30,610 в троичную систему счисления с точностью до четвертого знака после запятой.
Для целой части числа:
30 |
3 |
|
|
|
|
|
−30 |
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|||
0 |
− 9 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||
|
1 |
|
−3 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
12

3010 = 10103
Для дробной части:
0,6
х3
1,8
х3
2,4
х3
1,2
х3
0,6
х3
0,610 = 0,1210…3
30,610 = 1010,1210…3
Используя равенство, которому удовлетворяет любая аддитивная система счисления, можно проверить правильность перевода числа и определить погрешность при переводе его дробной части для заданной точности:
1010,12103 = 1·33 + 1·31 + 1·3-1 + 2·3-2 + 1·3-3 ≈ ≈ 27 + 3 + 0.3333 + 0.2222 = 30,555510
Для заданной точности погрешность составляет 0,044510.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратный перевод чисел
Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления выражаются целой степенью двойки: 8 = 23, 16 = 24, поэтому правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно достаточно просты: требуются три бита для представления восьмеричного числа в двоичном коде и четыре бита для представления шестнадцатерич-ного числа в двоичном коде.
Таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные
Восьмеричное число |
Двоичное число |
0 |
000 |
1 |
001 |
2 |
010 |
3 |
011 |
4 |
100 |
5 |
101 |
6 |
110 |
7 |
111 |
Таблица перевода шестнадцатеричных чисел в двоичные
Шестнадцатеричное число |
Двоичное число |
0 |
0000 |
1 |
0001 |
2 |
0010 |
3 |
0011 |
4 |
0100 |
5 |
0101 |
6 |
0110 |
7 |
0111 |
8 |
1000 |
9 |
1001 |
A (10) |
1010 |
B (11) |
1011 |
C (12) |
1100 |
D (13) |
1101 |
E (14) |
1110 |
F (15) |
1111 |
13

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоич-ную осуществляется представлением каждой цифры восьмерич-ного числа трехразрядным двоичным числом –
триадой:
762,358 = 111 110 010, 011 1012.
Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления осуществляется представлением каждой цифры шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными чис-
лами – тетрадами:
A7B,C716 = 1010 0111 1011, 1100 01112.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьме-ричную или шестнадцатеричную
осуществляется представле-нием разрядов двоичного числа, которые разбиваются на группы по три разряда при переводе в восьмеричную систему и по четыре разряда при переводе в шестнадцатеричную, отсчитывая от запятой влево для целой части числа и вправо для дробной; неполные крайние группы дополняются нулями; затем каждая двоичная группа представляется цифрой той системы счисления, в которую переводится число:
001 111, 101 0102 = 17,528,
0101 1100, 1011 0112 = 5C,B616.
Подобным образом можно представить перевод в двоичную систему счисления, например, из четверичной системы и обратно, так как основание четверичной системы тоже является целой степенью двойки: 4 = 22. Тогда для представления четверичного числа в двоичном коде потребуются два бита:
Четверичное число |
Двоичное число |
0 |
00 |
1 |
01 |
2 |
10 |
3 |
11 |
Перевод десятичных чисел в двоичные
При переводе десятичных чисел в двоичные, в соответствии с общими правилами перевода чисел, целая часть числа последова-тельно делится на два (остатки являются цифрами целой части двоичного числа), а дробная последовательно умножается на два (целые части являются цифрами
дробной части двоичного числа).
Например: перевести число 30,610 в двоичную систему счисления с точностью до четвертого знака после запятой.
Для целой части числа:
30 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−30 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
−14 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
−6 |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Запись цифр целой части числа осуществляется справа налево: 3010 = 111102. Для дробной части числа:
0,6
×2
1,2
×2
0,4
×2
0,8
×2
1,6
×2 …
Запись цифр дробной части числа осуществляется сверху вниз: 0,610 = 0,1001…2
14

30,610 = 11110,1001…2
Если при переводе дробной части получается периодическая дробь, то производится округление, исходя из предварительно заданной точности вычисления. В данном примере дробь определена с точностью до четвертого знака после запятой.
Используя равенство, которому удовлетворяет любая аддитив-ная система счисления, можно проверить правильность перевода числа и определить погрешность при переводе его дробной части для заданной точности:
11110,10012 = 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·21 + 0·20 + 1·2-1 + 0·2-2 + 0·2-3 + +1·2-4 = 16 + 8 + 4 + 2 + 0.5 + 0.0625 = 30,562510.
Для заданной точности погрешность = 0,037510.
Перевод десятичных чисел в восьмеричные и шестнадцатеричные
При переводе десятичных чисел в восьмеричные или шестнад-цатеричные, в соответствии с
общими правилами перевода чисел, целая часть числа последовательно делится, соответственно, на 8 или 16, а дробная – умножается, соответственно, на 8 или 16.
Например: перевести число 555,2110 в восьмеричную систему с точностью до четвертого знака после запятой.
Для целой части числа:
555 : 8 = 69 : 8 = 8 : 8 = 1 – старший разряд
3 |
5 |
0 (остатки от последовательного деления) |
Для дробной части числа:
0,21 × 8 = 0,68 × 8 = 0,44 × 8 = 0,52 × 8 = 0,16 × 8 = …
0, 1 5 3 4 – младший разряд
555,2110 = 1053,1534…8
Проверку правильности перевода числа и определение погрешности при переводе его дробной части для заданной точности выполняют, используя равенство аддитивной системы счисления:
1053,15348 = 1·83 + 0·82 + 5·81 + 3·80 + 1·8-1 + 5·8-2 + 3·8-3 + 4·8-4 = =512 + 40 + 3 + 0,125 + 0,078125 + 0, 005859375 = 555,20898437510.
Для заданной точности погрешность равна 0,00101562510.
Перевод двоичных чисел в десятичные
При переводе двоичного числа в десятичное, в соответствии с общими правилами перевода чи-
сел, целая часть числа делится на основание десятичной системы счисления в двоичной записи (10102), а дробная –умножается последовательно на это число.
Например: перевести число 111101,012 в десятичную систему. Для целой части числа:
111101 1010 −1010 110
1010 −1010
01
1111012 = 6110
Для дробной части числа:
0,0100
×1010
+ 0000 0 100 00 00 010 0 10,1000
х1010
+0000
15