Архив WinRAR_1 / trahtengerts5

Глава 6. … алгоритмическое обеспечение генерации вариантов …221

Часто алгоритмы построения деревьев решений дают сложные деревья, переполненные данными, имеют много узлов и ветвей. В них трудно разобраться. В таких случаях бывает удобнее разбить дерево на несколько деревьев решений.

Деревья решений поддержаны программными комплексами различных фирм: так система MinSet содержит визуализатор деревьев

(Tree Visualizer) и визуализатор правил (Rul Visualizer), специально для работы с деревьями решений созданы программные системы

Clementine (Integral Solution, Великобритания), SIPINA (Лионский университет, Франция) и др.

Примеры использования деревьев решений и расчеты на графах приведены в части III книги.

222 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Глава 7

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАНЖИРОВАНИЯ ВАРИАНТОВ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

7.1. Идеология формализации оценок

Сегодня очень многие специалисты, связанные с принятием решений, осознают, что при принятии решений необходимо использовать формальные методы оценки их оптимальности с привлечением возможно более строгого математического аппарата. Это понимание начало возникать во время второй мировой войны, когда математические методы оптимизации начали использовать для выбора целей американских стратегических бомбардировщиков и в процессе решения некоторых других боевых задач, а массовое понимание этой проблемы пришло после войны, когда родилась наука исследования операций.

Такое понимание связано с тем, что:

современные системы принятия решений позволяют генерировать не одно, а несколько допустимых решений, удовлетворяющих заданным ограничениям, каждое из них надо ранжировать и выбрать лучшее;

решение часто должно удовлетворять нескольким противоречивым критериям и необходимо учитывать возможность и полноту удовлетворения этим критериям;

в очень многих случаях необходимо принимать коллективные решения, при этом возникает задача согласования противоречивых требований лиц, принимающих решения, их критериев и оценок.

Часто возникают сомнения, подходят ли методы формального анализа для решения сложных проблем, поскольку для них требуют-

ся субъективные оценки. Они действительно требуются, но эти субъективные оценки могут быть приняты при формальном анализе в качестве входных данных.

Перед тем как обсуждать роль формальных оценок, наверное, будет полезно указать, что использование формальных оценок позволяет специалистам, принимающим решения, лучше осознать их убеждения, требования и предпочтения в контексте конкретного выбора, который они должны сделать. Язык формальных оценок позволяет облегчить взаимопонимание внутри групп специалистов, принимающих решение, сконцентрировать внимание на критических точках и избежать ненужных дискуссий по второстепенным вопросам. Все это позволит им принимать лучшие и более обоснованные решения.

Идеологию формализации оценок хорошо рассмотреть на подходе, получившем название субъективной ожидаемой полезности

(Subjective expected utility – SEU) [7.1].

Воспроизведем, для удобства, схему метода, приведенную в разделе 3.3 при обсуждении средств формализации неопределенности и субъективности в математических моделях, используемых при поддержке управленческих решений. Считается, что специалист, принимающий решение, должен осуществить выбор из конечного множества альтернатив A {a/i 1,...,m}. Последствия каждой альтернати-

вы ему ясны не вполне и зависят от внешних факторов или состояний. Считается, что таких состояний также конечное множество Q {q/ j 1,...,n}. Выбор альтернативы ai для состояния qj, приводит

к последствию cij, лежащему в соответствующем пространстве C. Таким образом, связываются состояния объекта, альтернатива

выбора (решение) и последствия принятого решения. Эту связь можно записать в виде

Вводятся две функции:

субъективной вероятности P(*), которая отражает представления специалиста;

полезности U(*), которая представляет предпочтения специалиста.

Возможные альтернативы оценены при помощи функции:

7.2. Формирование критериев оценки вариантов решений

Определение. Сначала напомним формальное определение критерия, поскольку это понятие уже упоминалось и будет широко использоваться в дальнейшем. Пусть задано некоторое конечное множество вариантов (альтернатив) решений А. Из множества А или лю-

бого его подмножества Х (Х А) необходимо выделить одно или несколько вариантов решений в некотором смысле лучших или более соответствующих каким-либо заранее оговоренным условиям. Для решения этой задачи традиционно используется критериальноэкстремизационный подход, который может быть описан следующим образом [7.2].

Множество вариантов А проецируется на числовую ось, так что каждому варианту соответствует конкретная точка числовой оси. Числовая ось, на которую спроецировано множество вариантов А, называется шкалой. Сам процесс проецирования, то есть приписывание элементам из А числовых значений, соответствующих точкам числовой оси, в которые они проецируются, – шкалированием. Если после такого проецирования упорядочить все варианты из А по величине приписанных им числовых оценок и сохранить за вариантами лишь их порядковый номер, то образованная таким образом шкала называется порядковой или ранговой.

Если вариант считается тем «лучше» или более соответствующим заранее фиксированной цели выбора, чем большая (или меньшая) числовая или ранговая оценка приписывается варианту, то шкала называется критерием для выбора или критериальной шкалой.

Рассмотрим вариант x A и рассмотрим его критериальную оценку, т.е. числовое значение той точки шкалы, в которую вариант спроецирован. Обозначим через f(x) функцию, заданную на множестве всех вариантов x из А и имеющую числовые значения, определяемые критериальной шкалой. Такая функция и называется критерием.

Таким образом, использование критерия есть способ выражения различий в оценке альтернативных вариантов с точки зрения руководителя [7.3].

226 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Выбор подмножества YA лучших вариантов из А по заданному критерию f(x) называется экстремизационным, если он осуществляется по правилу [7.2]:

YA {y A/ x A: f (y) f (x)}.

То есть в YA включаются такие и только такие варианты, для которых в множестве А не существует вариантов, имеющих строго большую критериальную оценку.

В случае, когда имеется несколько критериев, будем говорить, что задан набор или вектор критериев {f (x)} {fi(x), i =1,n}, где i –

номер критерия, а n – число критериев. Поскольку ситуация может описываться не одним, а несколькими критериями, возникла необходимость расширения представления об экстремизационном выборе так, чтобы оно приводило к осмысленному выбору некоторого подмножества вариантов, лучших с точки зрения этого набора критериев. Для этого необходимо, чтобы неравенства в (7.3) выполнялись как векторные. То есть формулы (7.3) заменим формулами:

YA {y A/ x A:{f (x)} {f (y)}} или

YA {y A/ x A:{f (y)} {f (x)}},

где соотношение {f(x)}>{f(y)} означает, что fi(x)>fi(y), i {1,..., n}.

Иногда знак > заменяется на при дополнительном предполо-

жении, что хотя бы для одного i* {1,...,n} строгое неравенство fi* (x) > fi* (y) сохраняется. Такое видоизмененное правило в литературе называют правилом Парето. Мы с ним еще встретимся.

Желательные свойства набора критериев. Можно сформули-

ровать следующие требования к набору критериев, связанному с принятием решений [7.4]. Набор критериев должен быть полным, действенным, разложимым, неизбыточным и минимальным.

Полнота набора сценариев. Набор должен схватывать все важные аспекты проблемы. Набор критериев является полным, если с его помощью можно выразить степень достижения общей цели, то есть набор из n критериев полон, если, зная значение n-мерного критерия, связанного с общей целью, руководитель имеет полное представление о степени достижения общей цели [7.4]. Заметим, что по-

следнее определение не является конструктивным, а скорее дает некоторую идеальную меру полноты набора критериев.

Видимо, не существует формального метода определения полноты набора критериев, но каждый на собственном опыте мог убедиться, что неучет какого-либо фактора или группы факторов приводил к неуспеху проводимого мероприятия.

Действенность критериев. Руководитель должен понимать смысл критериев и их соответствие обсуждаемой проблеме. Критерии должны быть такими, чтобы их смысл можно было объяснить другим, особенно в тех случаях, когда важнейшей целью работы является выработка и защита определенной позиции, точки зрения и т.д.

Разложимость. Формальный анализ решения требует, чтобы было найдено количественное выражение, как предпочтений руководителя относительных последствий, так и его суждений о неоднозначно оцениваемых событиях. При использовании n критериев это означает, что необходимо построить n-мерную функцию предпочтения. Для задач с большим числом критериев полезно произвести декомпозицию задачи и разложить ее на подзадачи, каждая из которых содержит меньшее число критериев. То есть желательно, чтобы набор критериев был разложимым.

Неизбыточность. Критерии должны быть определены так, чтобы не дублировался учет одних и тех же аспектов решаемой проблемы.

Минимальная размерность. Желательно, чтобы набор критериев оставался настолько малым, насколько это возможно. Увеличение числа критериев приводит, с одной стороны, к более глубокому анализу решаемой задачи, с другой стороны, может сильно усложнить и запутать анализ, что приведет к ошибочности результатов.

Хорошо известно желание руководителя – указать как можно больше критериев, пытаясь связать каждый примитивный признак с самостоятельным критерием. Но чем больше число критериев, тем большее число сравниваемых вариантов попадают в категорию несравнимых. Поэтому желательно если не уменьшать число критериев (их неучет может привести к серьезным искажениям оценки объекта), то, во всяком случае, не увеличивать их.

228 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Оценка важности критерия. Определение значимости критерия (его «веса», важности) играет большую роль в формализованных процедурах формирования решения.

Существует много методов оценки важности критериев, связанных главным образом с оценкой «весов» критериев экспертами. Рассмотрим несколько способов определения важности критериев, реа-

лизованных в системе RODOS и RECASS [7.5, 7.6].

1.На основе опыта и знаний руководителя. Руководитель прямо указывает, какие из возможных критериев важны, какие – нет. Использование компьютеров позволяет облегчить выбор критериев высвечиванием на мониторе списка возможных критериев. Критерии, которые с точки зрения руководителя не имеют большого значения, вычеркиваются из списка, при отсутствии в списке необходимых критериев руководитель может его дополнить. Определение «веса» (значимости) каждого критерия не формализуется.

2.На основе критериального анализа ситуации, опыта и знаний.

Врамках этого способа оцениваются «веса» (величины значимости) критериев, например на основе использования подпространств текущего состояния и цели, которая рассмотрена ранее в разделе 3.4. Не будем повторять описание процедуры оценки. Напомним только, что при этом подходе значимость, важность j-го критерия (его «вес») –

K j будет некоторой функцией от значений j-го критерия в областях D («область текущего состояния») и S («область желательных состояний»). Обозначим их соответственноKSj и KDj . В этом случае

терия, определяемый руководителем как на основе его опыта и зна-

ний, так и с учетом значения функции Fj. К определению значений j мы вернемся позже. Возможные конкретные виды функции Fj – это

разность KSj и KDj , показывающая насколько надо улучшить поло-

жение или их частное, показывающее во сколько раз надо улучшить положение.

3. На основе критериального анализа ситуации, прогнозирова-

ния динамики, опыта и знаний. Введем еще одно подпространство H(t) в том же критериальном пространстве Rm. Это подпространство,