Архив WinRAR_1 / trahtengerts5

230 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

руководителем, исходя из его субъективных представлений о важности динамической составляющей в оценке критериев.

Теперь вернемся к методам оценки коэффициентов j, i=1,2,.. . Эта оценка может быть выражена:

1.непосредственно в баллах;

2.сравнением с некоторым базовым критерием (например, стоимостью);

3.попарным сравнением важности критериев.

Во всех трех случаях они могут выражаться в цифровой форме, графически в форме диаграммы или в форме лингвистических переменных.

Определение величин коэффициентов j, i=1,2,.. первыми двумя способами не создает никаких трудностей в работе с указанными руководителем весами, но эти способы не всегда удобны руководителю.

Способ парных сравнений в некоторых случаях предпочтительнее для руководителя, но при этом необходимо обеспечить согласованность оценок. Рассмотрим один из способов согласования и оцен-

ки согласованности j, i=1,2,..

Для согласования коэффициентов руководитель производит парные сравнения важности критериев. Результаты сравнения количественные (лингвистические или графические) представляются

матрицей A (aij), (i,j 1,2,...n,), где значение aij показывает, что для руководителя критерий Ki в aij раз важнее критерия Kj. Элементы матрицы А обладают следующим свойством: если aij b, то

aji 1/b, b 0,aii 1.

В[7.7] рассмотрено несколько способов согласования матриц A (aij), (i,j 1,2,...n,), различающихся по сложности и точности. По-

казано, что самым точным является нахождение главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором коэффициентов. Численная оценка согласованности матриц этим методом рассмотрена в разделе 7.5.

Таким образом, на основе представлений руководителя можно:определить значимость "веса" (важность) критериев;

оценить создавшуюся ситуацию (определить подмножество D критериального пространства);

определить желаемое состояние объекта (определить подмножество S критериального пространства);

оценить потенциальную опасность, которая может возникнуть вследствие неприятия соответствующих мер (определить подмножество H(t) критеиального пространства).

Представление критериев с помощью лингвистических пе-

ременных. Любая лингвистическая переменная и все ее значения связаны с конкретной количественной шкалой. Эта шкала иногда называется базовой шкалой. Пример такой шкалы, определяющей степень эффективности методов воздействия на пласт с целью повышения его нефтеотдачи, был приведен ранее на рисунке 3.5 при обсуждении многокритериальных функций предпочтения.

Необходимо отметить, что значения лингвистических переменных могут задаваться не только базовой шкалой, но и функцией принадлежности μ(x). Так, например, μ(x) может быть выбрана в виде:

x 1 exp x0.5 .

Подбирая соответствующие значения параметров α и β, можно получить функции принадлежности рассматриваемых лингвистических термов. Так для значения «слабое» базовой шкалы на рис. 3.5 функция принадлежности имеет вид:

x 1 exp 1.50.25x0.5 .

Назначение лексического интерфейса – дать возможность руководителю выразить свои предпочтения в привычных качественных терминах "лучше", "хуже", "хорошо", "плохо" и т.п. с тем, чтобы эти качественные оценки система поддержки принятия решений смогла преобразовать в количественные, позволяющие оценивать эффективность предлагаемых решений и действий, с точки зрения предпочтений руководителя.

232 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Для облегчения работы руководителя в систему поддержки принятия решений вводятся наборы синонимов, с помощью которых он может давать свои оценки, осознавая их эквивалентность.

Примеры таких наборов синонимов даны на рис. 7.1, на котором представлен фрагмент лексического интерфейса в системах RODOS

иRECASS, разработанных в НПО «Тайфун»[7.8 – 7.10].

Спомощью лексического интерфейса эксперт (руководитель) может сам вводить свои синонимы оценок в систему и определять балльность шкалы.

Рис. 7.1

Отметим разницу между оценками, приведенными на рис. 7.1. Используя «абсолютную оценку А», можно дать балльные оценки достаточно большому количеству объектов (решений, действий и т.д.), причем с точки зрения руководителя все эти решения будут согласованы. Но такие согласованные оценки эксперт или руководитель может дать далеко не всегда. В очень многих случаях он может осуществить только попарные сравнения. «Сравнительная оценка Б» является примером таких оценок. Эти оценки во многих случаях ока-

зываются несогласованными. Несогласованность заключается в том, что при попарном сравнении эксперт может оценить А лучше В, В лучше С, С лучше D, ..., К лучше М, М лучше В. То есть В лучше M и хуже М одновременно. Для преодоления этой трудности в системе сравнивается не каждый объект с каждым, а все объекты с одним. В повседневной жизни таким объектом могут быть деньги - “всеобщий эквивалент”.

Для того, чтобы работать с лингвистическими переменными, необходимо произвести дефазификацию (от английского слова defuzzification) – преобразование нечеткого множества в четкое представление. Пример такого преобразования показан в табл. 7.1. Лингвистические переменные в табл. 7.1 обозначают степень (функцию) при-

надлежности A(ui) аварии понятию «тяжелая авария» (например, применительно к системам трубопроводного транспорта углеводородов).

Таблица 7.1

Несколько слов о точности задания отображения шкал. Отображение шкалы физических параметров на шкалу лингвистических переменных (фактически шкалу критериальных оценок) эксперт или руководитель могут сделать с различной степенью точности, используя шкалы разной балльности: сто балльные шкалы, десяти балльные или какие-нибудь другие. Выбор шкалы должен определяться той степенью точности, с какой человек может определить состояние объекта или процесса.

234Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

7.3.Многокритериальные функции предпочтения руководителя

Рассмотрим функцию предпочтения, построенную на базовых шкалах в базовом пространстве. Функция предпочтения обычно имеет вид отображения множества альтернатив в числовую ось. Иными словами, каждой альтернативе эта функция ставит в соответствие число (оценку альтернативы), причем так, что эквивалентным альтернативам соответствуют одинаковые числа (значения функции предпочтения), а из каждых двух не эквивалентных альтернатив лучшей приписывается большее число.

Формально это правило ранжирования можно представить в ви-

де:

: A R1,A Rm , такую, что(X) (Y) X хуже, чем Y ,

где (Z) функция предпочтения на альтернативе, определяемой век-

тором (Z) .

В подавляющем большинстве случаев функция предпочтения неизвестна. Для ее аппроксимации используют различные искусственные способы. Пойдем таким же путем. Не пытаясь восстановить вид функции, используем ее основное определяющее свойство, считая, что если значение функции предпочтения для альтернативы,

определяемой вектором X , больше значения функции предпочтениядля альтернативы, определяемой вектором Y , то решение, харак-

теризуемое вектором X , лучше решения, характеризуемого вектором Y.

В настоящее время предложено много подходов многокритериальной оценки решений на основе построения многокритериальной функции предпочтения руководителя [7.1 – 7.10]. В большинстве случаев они строятся в виде линейной или нелинейной свертки, позволяющей поставить в соответствие каждому элементу множества возможных решений оценивающее его число.

Приведем в качестве примера метод построения функции полезности руководителя, использующий его субъективные оценки, данные на языке лингвистических переменных. Достоинством этого метода является возможность широко использовать лингвистические

236 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

ной, полагая k (k 1,K) для каждого интервала параметров, со-

ответствующему лингвистической переменной.

Базовые шкалы будем строить для каждого критерия, и функцию предпочтения для каждого i-го критерия обозначим уже через i. Тогда (7.4) примет вид:

где все переменные имеют то же значение, что и в (7.4), но с четким указанием отношения к i-ому критерию.

Объединяя все m базовых шкал в одно пространство, получаем m-мерное базовое пространство. Таким образом, все пространство параметров Rm отображается на пространство критериев той же размерности. При этом пространство значений критериев разбивается лингвистическими переменными на подмножества. Каждая точка базового пространства определяется двумя связанными между собой векторами координат: координатами пространства параметров и координатами пространства критериев, связанных между собой через базовые шкалы (см. табл. 7.2).

Для того чтобы оценить и проранжировать эффективность принимаемых решений с помощью функции предпочтения, необходимо учитывать значимость (важность) критериев. Таким образом, значение функции предпочтения руководителя (эксперта) для варианта

где Ki – оценка степени важности (значимости, «веса») i-го критерия, i=1,…,M, i,А – критериальная оценка значения i-го физического параметра варианта решения (сценария) A, определяемая экспертом по

(7.4) или (7.5).

Если значения функций предпочтения руководителя по i-ому и j- ому критериям является суммой функций предпочтения по каждому

критерию, то знак означает сложение, если значение функции яв-

ляется произведением или частным, то символ обозначает соответственно сумму или частное. Число лингвистических переменных по каждому критерию (их балльность) у каждого критерия может быть

свое, i,A определяется согласно (7.6) или (7.7).

Однако, для разных подмножеств базовой шкалы веса критериев могут меняться. В этом случае значение функции предпочтения для j-го подмножества должно определяться из соотношения:

где Kij – оценка степени важности i-го критерия для j-го подмножества базовой шкалы.

Соотношение (7.9) позволяет произвести нелинейную, более точную, аппроксимацию функции предпочтения ЛПР, но требует от него больше информации.

Втех случаях, когда предполагается, что Ki = const, т.е. не зависит от лингвистических переменных каждого критерия, «веса» под-

множеств базового пространства могут быть вычислены заранее и ранжированы. В этом случае точка в пространстве критериев Rm, характеризующая данное решение, определяется ее параметрами и принадлежностью к определенному подпространству. Поскольку подпространство ранжировано, то ранжированы и попавшие в них точки. Таким образом, пространство параметров и пространство критериев оказались связанными (отраженными друг в друге).

Вкачестве простого иллюстративного примера рассмотрим двумерное базовое пространство (см. табл. 7.3 и 7.4) для оценки решения по очистке воды (например, сточных вод нефтеперерабатывающего завода).

По оси х отложены величины затрат в условных единицах и их оценки руководителем по пятибалльной шкале, а по оси у степень очистки воды – тоже в условных единицах и их оценки руководителем тоже по пятибалльной шкале. Заметим, что балльность оценок по шкалам может не совпадать, а оценки могут быть не обязательно балльные, а, например, даны путем парного сравнения, но в этом случае, как всегда, должны быть согласованы. Оценка загрязненности воды по оси y в табл. 7.3 и 7.4 даны в соответствии с табл. 7.2.

238 Часть 2. Математическое и алгоритмическое обеспечение …

Пусть важность критерия по затратам оценивается в 10 баллов, а по очистке в 4 балла.

В табл. 7.3 проставлены «веса» каждого линейного подпространства. Расчет ведется по упрощенной формуле (7.8), когда каждая Ki =const. Заметим, что балльная оценка расходов в нашем примере должна быть инверсной: «очень большие» – 1, «большие» – 2, «средние» – 3, «небольшие» – 4, «нет» – 5. Балльная оценка очистки прямая: «чистая» – 5 и т.д.

Таблица 7.3

Функция предпочтения имеет вид:

=K1 1+K2 2.

Чем выше степень очистки воды и меньше затраты, тем лучше. Еще раз подчеркнем, что оценку затрат оцениваем инверсной функцией: нет затрат – 5, небольшие затраты – 4 и т.д.

Таблица 7.4

Цифры в линейных подпространствах табл. 7.3 и 7.4 показывают значения функции предпочтения в каждом подпространстве, цифры, отчеркнутые в правом верхнем углу – ранжировку подпространств. С точки зрения руководителя, лучшим в табл. 7.3 оказалось решение 2, хотя оно дает плохую очистку, но самое дешевое.