26. Принятие решений по многим критериям: Турнирная таблица

При ранжировке по этой процедуре надо выбрать тот двигатель, у которого максимально число показателей, превосходящих показатели других двигателей (число «выигрышей»). Для этого построим матрицу S, такую что:

Или

Строки и столбцы матрицы Sсоответствуют множеству альтернатив вM. Такую матрицу называют обобщенной турнирной матрицей. Поясним построение матрицыSна примере таблицы. (, гдеl– идентификаторы параметров,P_l–l-ый параметр оценки двигателей.– параметр «чувствительности» - порог, соответствующий каждой характеристикеl.

Наименование фирм	Значения n(x,y)					ω(x)
	A	B	C	D
A	-	2	1	2	5
B	1	-	1	1	3
C	0	2	-	0	2
D	1	0	0	0	1

Поскольку n(x,y) показывает число «выигрышей» двигателяxу двигателяy, т.е. число параметров двигателяx, показатели которых лучше показателя тех же параметров двигателяy, функцияопределяет общее число «выигрышей» двигателяxу других двигателей. Т.о., функция– последний столбец таблицы определяет «естественный» (для этой функции) порядок на множествеA. Лучшим оказался двигатель фирмыA.

27-28-29. Общая характеристика метода анализа иерархий, построение матрицы суждений, расчет векторов относительных приоритетов.

Метод анализа иерархий (МАИ) предложен Т. Саати в конце се­мидесятых годов прошлого века. Основные принципы МАИ основываются на том, что для практических целей система часто рассматривается в терминах ее структуры и функций. Струк­тура системы позволяет анализировать ее функции, а в процессе функционирования может измениться структура системы. Иерархия является некоторой абстракцией структуры системы, предназначен­ной для изучения функциональных взаимодействий ее компонент и их воздействий на систему в целом.

Иерархия есть определенный тип системы, особенность которой заключается в том, что элементы системы могут группироваться в связанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием другой вполне определенной группы элементов и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Будем счи­тать, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером) независимы.

Оценка вариантов решений методом анализа иерархий сводится к следующему:

1. Изучаемую систему представляют в виде иерархии, которая изображается графом связей (в простейшем случае типа дерево) ме­жду элементами уровней - первый и очень важный этап решения за­дачи.

Нулевой уровень иерархии (фокус иерархии) - глобальный кри­терий (цель) системы. Следующими уровнями иерархии могут слу­жить:акторы (1-уровень) - участники процесса, действующие силы, организации, коллективы, поведение и предпочтения которых могут воздействовать на результаты (исходы), виды критериев;цели или критерии, определяющие действие акторов;возможные действия акторов - стратегии;альтернативные варианты решений - сцена­рии прогнозируемого или желаемого будущего, варианты проектов, программ и т.д.

2. Входной информацией для расчетов, выполняемых СППР, служат матрицы парных сравнений приоритетов элементов нижнего уровня иерархии, с точки зрения элементов верхнего (предыдущего) уровня, составляемые экспертами (или руководителями). По этим матрицам СППР рассчитывает вектор относительных приоритетов, являющийся собственным нормированным вектором матрицы суж­дений, который чаще всего, однако, вычисляется по следующему приближенному алгоритму: в матрице суждений необходимо сумми­ровать элементы каждой строки и нормализовать сумму делением ее на сумму всех элементов матрицы; сумма полученных результатов будет равна единице; первый элемент результирующего вектора бу­дет приоритетом первого объекта, второй - второго и т.д.

Для парных сравнений эффективнее всего исполь­зовать 9-балльную шкалу, исходя из которой, составляется матрица приоритетов (суждений), хотя при необходимости, могут бить ис­пользованы и лингвистические переменные.

Матрица суждений составляется таким образом, что если при­оритетi-го объекта передj-м естьb_ij, то приоритетj-го объекта передi-м – 1/b_ij, аb_ii=1 иb_ii не равно нулю.

Для контроля согласованности матриц приоритетов вычисляют­ся две характеристики этой матрицы: индекс согласованности (ИС) и отношений согласованности (ОС):

ИС = (λ_max-n)/(n-1), гдеn- размерность матрицы приоритетов (число сравниваемых объ­ектов);

λ_max- наибольшее собственное значение (число) матрицы суж­дений, которое чаще всего вычисляется по следующему алгоритму: сначала суммируется каждый столбец матрицы суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты, рассчитанного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вто­рую и т.д.; затем полученные числа суммируются, и получается зна­чение λ_max

Можно показать, что при λ_max =n обратно симметрическая матри­ца, которой является матрица суждений, является идеально согласо­ванной.

Индекс согласованности, сгенерированный случайным образом, называется случайным индексом согласованности (СИ).

Отношение ИС к СИ называется отношением согласованности (ОС) ОС=ИС/СИ. Значение ОС меньшее или равное 0.10 считается приемлемым, если нет, то руководителю необходимо пере­смотреть свои приоритеты или даже саму иерархию.

3. Из векторов приоритетов, оценивающих влияние элементов i+1 го уровня на каждый связанный с ним элементi-го уровня (связь фиксируется наличием соответствующей дуги в графе иерархии), образуется матрицу приоритетов, которая умножается справа на век­тор приоритетов полученный наi-м уровне иерархии и получается вектор приоритетовi+1-го уровня.

4. Последовательное вычисление приоритетов элементов от верхних уровней к нижним позволяет численно оценить влияние всех включенных в иерархию элементов (акторов, стратегий, видов критериев, критериев, сценариев, действий и т. д.) на возможные ис­ходя (терминальные вершины графа иерархии).

5. Сравнивая полученные приоритеты для элементов последнего уровня можно установить соотношения в их значимости (выгодно­сти, эффективности) с точки зрения руководителя. Если задача со­стоит в выборе одного из альтернативных решений, то предпочтение следует отдать варианту с наибольшим приоритетом.