2_1-2_136

= =

59. Визначити роботу А, яку здійснить азот, якщо йому при постійному тиску надати кількість теплоти Q = 21 кДж. Знайти також зміну внутрішньої енергії газу.

2.63.

Дано

= 5 Q = 21 кДж

= ? = ?

Розв’язок.

Розширюючись газ виконує роботу проти зовнішніх сил, елементарну роботу dA визначають за формулою:

. (1)

А повну роботу:

(2)

Якщо температура газу у деякому термодинамічному процесі зміниться на T, тоді і його внутрішня енергія зміниться на U:

, (3)

З рівнянь (2) і (3) получаємо вираз

, (3)

Тоді згідно з формулою 1-го начала термодинаміки та виразу (3) отримуємо:

, (4)

Звідки отримаємо вираз:

, (5)

а з рівнянь (3) і (5) – вираз:

, (6)

Підставляємо дані умови в рівняння (5) і (6) отримаємо відповідь:

= =

59. Ідеальний газ здійснює цикл Карно при температурах теплоприймача T₂ = 290 К і тепловіддавача Т₁ = 400 К. У скільки разів збільшиться к.к.д. циклу, якщо температура тепловіддавача зросте до T₁=600 К?

2.64.

Дано

T2 = 290 К Т1 = 400 К = 600 К

= ?

Розв’язок.

ККД ідеального циклу Карно дорівнює

, (1)

де , — температура нагрівача в першому та другому випадку; — температура холодильника.

З системи рівнянь (1) отримаємо формулу для розрахунку:

. (2)

Підставляємо дані умови в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

59. Ідеальний газ здійснює цикл Карно. Температура T₁ тепловіддавача у чотири рази більша температури теплоприймача. Яку частку кількості теплоти, отриманої за один цикл від тепловіддавача, газ віддасть теплоприймачу?

2.65.

Дано

= 4

= ?

Розв’язок.

ККД ідеального циклу Карно дорівнює

, (1)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (2)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Підставляємо дані умови в рівняння (3) і отримаємо відповідь:

=

59. Визначити роботу A₂ ізотермічного стиснення газу, що здійснює цикл Карно, к.к.д. якого  = 0,4 якщо робота ізотермічного розширення дорівнює А₁ = 8 Дж.

2.66.

Дано

= 0,4 А1 = 8 Дж

= ?

Розв’язок.

Під час ізотермічного стиснення газу його внутрішня енергія не змінюється ( = 0), тому робота при стисненні дорівнює

, (1)

а при ізотермічному розширенні

. (2)

Тоді к.к.д. циклу дорівнює

. (3)

Звідки отримуємо

. (4)

Підставляємо дані умови в рівняння (4) і отримаємо відповідь:

=

59. Газ, що здійснює цикл Карно, віддав теплоприймачу теплоту Q₂ = 14 кДж. Визначити температуру T₁ тепловіддавача, якщо при температурі теплоприймача T₂ = 280 К робота циклу складає А = 6 кДж.

2.67.

Дано

Q2 = 14 кДж T2 = 280 К А = 6 кДж

= ?

Розв’язок.

ККД ідеального циклу Карно дорівнює

, (1)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (2)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику; - робота циклу.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Підставляємо дані умови в рівняння (3) і отримаємо відповідь:

=

59. Газ, будучи робочою речовиною у циклі Карно, отримав від тепловіддавача теплоту Q₁ = 4,38 кДж і здійснив роботу А = 2,4 кДж. Визначити температуру тепловіддавача, якщо температура теплоприймача T₂ = 273 К.

2.68.

Дано

Q1 = 4,38 кДж А = 2,4 кДж T2 = 273 К

= ?

Розв’язок.

ККД ідеального циклу Карно дорівнює

, (1)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (2)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику; - робота циклу.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Підставляємо дані умови в рівняння (3) і отримаємо відповідь:

=

59. Газ, що здійснює цикл Карно, віддав теплоприймачу 67 % теплоти, отриманої від тепловіддавача. Визначити температуру Т₂ теплоприймача, якщо температура тепловіддавача T₁ = 430 К.

2.69.

Дано

T1 = 430 К

= ?

Розв’язок.

ККД ідеального циклу Карно дорівнює

, (1)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (2)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику; - робота циклу.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Підставляємо дані умови в рівняння (3) і отримаємо відповідь:

=

59. У скільки разів збільшиться коефіцієнт корисної дії циклу Карно при підвищенні температури тепловіддавача від T₁ = 380 К до = 560 К? Температура теплоприймача Т₂ = 280 К.

2.70.

Дано

T1 = 430 К = 560 К Т2 = 280 К

= ?

Розв’язок.

Запишемо вираз для ККД ідеального циклу Карно у двох випадках

(1)

де , — температура нагрівача; — температура холодильника.

Поділимо друге рівняння системи (1) на перше:

. (2)

Підставляємо дані умови в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

59. Ідеальна теплова машина працює по циклу Карно. Температура тепловіддавача Т₁ = 500 К, температура теплоприймача T₂ = 250 К. Визначити термічний к.к.д. циклу, а також роботу А₁ робочої речовини при ізотермічному розширенні, якщо при ізотермічному стисненні звершена робота A₂ = 70 Дж.

2.71.

Дано

T1 = 500 К Т2 = 250 К A2 = 70 Дж

= ? = ?

Розв’язок.

Запишемо вираз для ККД ідеального циклу Карно

, (1)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Якщо мова в задачі йде про ізотермічні процеси, то при і = 0 маємо

(2)

Тоді ККД можна записати у вигляді

. (3)

Порівнявши рівняння (1) і (3) отримаємо

. (3)

Звідки отримаємо формулу для розрахунку :

= (4)

Підставляємо дані умови в рівняння (1) і (4) отримаємо відповіді:

= =

59. Газ, що здійснює цикл Карно, отримує теплоту Q₁ = 84 кДж. Визначити роботу газу, якщо температура Т₁ тепловіддавача у три рази вища за температуру Т₂ теплоприймача.

2.72.

Дано

Q1 = 84 кДж T1 = 3∙Т2

= ?

Розв’язок.

Запишемо вираз для ККД ідеального циклу Карно

, (1)

де , — температура нагрівача і теплота, яку отримало робоче тіло від нього; , — температура холодильника і теплота, яку робоче тіло віддало теплоприймачу.

З рівняння (1) отримаємо шукану роботу:

. (2)

Підставляємо дані умови в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

59. У циклі Карно газ отримав від тепловіддавача теплоту Q₁ = 500 Дж і здійснив роботу А = 100 Дж. Температура тепловіддавача T₁ = 400 К. Визначити температуру Т₂ теплоприймача.

2.73.

Дано

Q1 = 500 Дж А = 100 Дж T1 = 400 К

= ?

Розв’язок.

Запишемо вираз для ККД ідеального циклу Карно та теплової машини:

, (1)

де , — температура нагрівача і теплота, яку отримало робоче тіло від нього; , — температура холодильника і теплота, яку робоче тіло віддало теплоприймачу.

З рівняння (1) отримаємо шукану температуру:

. (2)

Підставляємо дані умови в рівняння (2) і отримаємо відповідь:

=

59. При ізотермічному (t = 23°С ) розширенні азоту масою m = 10,5 г його тиск змінюється від = 250 кПа до = 100 кПа. Знайти роботу виконану газом при розширенні.

2.74.

Дано

t = 23°С m = 10,5 г = 250 кПа = 100 кПа

= ?

Розв’язок.

Робота, виконувана газом при розширенні,

. (1)

Тиск визначаємо з рівняння Менделєєва — Клапейрона:

. (2)

І підставимо в формулу (1)

, (3)

де = 28∙10^-3 кг/моль – молярна маса азоту.

Підставляємо дані умови в рівняння (3) і отримаємо відповідь:

=

59. При ізотермічному розширенні 10 г азоту, що знаходиться при температурі t = 17°С, була виконана робота А = 860 Дж. У скільки разів змінився тиск азоту при розширенні?

2.75.

Дано

= 10 г t = 17°С А = 860 Дж

= ?

Розв’язок.

Робота, виконувана газом при розширенні,

. (1)

Диференціал об’єму визначаємо з рівняння Менделєєва — Клапейрона:

. (2)

І підставимо в формулу (1)

, (3)

де = 28∙10^-3 кг/моль – молярна маса азоту.

З рівняння (3) отримаємо

, (4)

звідки потенціюванням отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

, (5)

Підставляємо дані умови в рівняння (5) і отримаємо відповідь:

=

59. Робота ізотермічного розширення 10 г деякого газу від об'єму V₁ до V₂ = 2V₁ виявилася рівною А = 575 Дж. Знайти середню квадратичну швидкість молекул газу при цій температурі.

2.76.

Дано

= 10 г V2 = 2V1 А = 575 Дж

= ?

Розв’язок.

Середня квадратична швидкості молекул визначається з формули

. (1)

Для визначення відношення знайдемо роботу при ізотермічному розширенні газу.

Робота, виконувана газом при розширенні,

. (2)

Тиск визначаємо з рівняння Менделєєва — Клапейрона:

. (3)

І підставимо в формулу (1)

, (4)

де = 28∙10^-3 кг/моль – молярна маса азоту.

Звідки отримаємо

. (5)

Отриманий вираз (5) підставляємо у (1) і отримаємо розрахункову формулу:

= (6)

Підставляємо дані умови в рівняння (6) і отримаємо відповідь:

=

59. Гелій, що знаходиться при нормальних умовах, ізотермічно розширяється від об'єму V₁ = l л до об'єму V₂ = 2 л. Знайти роботу виконану при цьому газом і кількість теплоти Q₁, що була надана газу.

2.77.

Дано

V1 = l л V2 = 2 л

= ? = ?

Розв’язок.

Робота, виконувана газом при розширенні,

. (1)

Тиск визначаємо з рівняння Менделєєва — Клапейрона:

. (2)

І підставимо в формулу (1)

, (3)

де = 4∙10^-3 кг/моль – молярна маса гелію.

Якщо мова в задачі йде про ізотермічні процеси, то при і = 0 тоді маємо

(4)

Підставляємо дані умови в рівняння (4) і отримаємо відповідь:

= =

59. При ізотермічному розширенні газу, що займав об'єм V = 2 м³, тиск його міняється від = 0,5 МПа до = 0,4 МПа. Знайти роботу виконану при цьому.

2.78.

Дано

V = 2 м3 = 0,5 МПа = 0,4 МПа

= ?

Розв’язок.

Робота, виконувана газом при розширенні,

. (1)

Диференціал об’єму визначаємо з рівняння Менделєєва — Клапейрона:

. (2)

звідки

. (3)

І підставимо в формулу (1)

. (4)

З рівняння (2) отримаємо вираз :

. (5)

Після підстановки виразу (5) у формулу (4), отримаємо

, (6)

Підставляємо дані умови в рівняння (6) і отримаємо відповідь:

=

59. До якої температури охолодиться повітря, що знаходиться при t = 0°С, якщо воно розширяється за законом адіабати від об'єму V₁ до об’єму V₂ = 2V₁?

2.79.

Дано

t = 0°С V2 = 2V1 = 5

= ?

Розв’язок.

Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона) мають вигляд

, (1)

або , (2)

або , (3)

де — показник адіабати. Молярну теплоємність газу для випадку його участі в ізохорному процесі визначають за формулою:

, (4)

- кількість ступенів вільності молекул газу.

Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра) визначається формулою: