4.1. Дифференциальные уравнения гидростатики (уравнения Эйлера)

Рассмотрим напряженное состояние жидкой частицы, имеющей форму параллелепипеда (рис.4.1) со сторонами dx , dy , dz.

На элементарный параллелепипед действуют удельные массовые силы F_x, F_y, F_{z ,}поверхностныеP_x ,P_y , P_z,на грани OABC,ОСС¢О¢, АОО¢А¢иР_х+¶р/¶х ; Р_у+¶р/¶у; Р_z+¶р/¶zна грани А¢В¢С¢О¢, АВВ¢А¢, ВСС¢В¢так как при переходе от одной грани к другой в общем случае давление изменяется на некоторую величину.

Напишем условие равновесия жидкой частицы в направлении оси х-в:

После преобразования получаем F_xdx-dx=0

Аналогично по другим осям координат

F_ydy-dy=0(4.1,а)

F_zdz-=0

Сократив на dx, dy, dz будем иметь

F_x-=0. F_y-=0(4.1)

F_z-=0

Полученную систему уравнений называют дифференциальными уравнениями гидростатики или уравнениями Эйлера.

Просуммируем уравнение (4.1)

= 0,

где-полный дифференциал давления.

Тогда будем иметь

(4.2)

Уравнение (4.2) называют уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

При р=const dp=0 поэтому

F_xdx+F_ydy+F_zdz=0 (4.3)

Есть не что иное, как уравнение поверхности равного давления.

4.2.Интегрирование уравнений гидростатики.

Уравнение гидростатики Эйлера описывают как абсолютный, так и относительный покой жидкости и их решения для частных случаев достаточны для выявления всех сторон поведения покоящейся жидкости. Рассмотрим ряд частных случаев интегрирования уравнений Эйлера.

4.2.1. Основное уравнение гидростатики.

Рассмотрим рис. 4.2 случай, когда на жидкость действует только одна массовая сила – сила тяжести.

Тогда в уравнении (4.1) F_y=F_x=0, а F_z=.

Знак минус указывает, что положительное направление оси Zвзято вверх от начала координат.

С учетом этих замечаний имеем из (4.1)

(4.4)

После интегрирования получаем

(4.5)

Для случая, показанного на рис.4.2., постоянную интегрирования можно найти из условия: при z = z₀, p = p₀, т. е.

₀+P₀ / (4.6)

Подставив из (4.4) значение Св (4.3), находим₀+P₀ /,

откуда P=P₀+g(z₀+z). Таким образом

P = P₀+gh(4.7)

Последнее уравнение часто называют основным уравнением гидростатики. Оно показывает, что абсолютное гидростатическое давление в любой точке пространства, занятого жидкостью, равно сумме внешнего давления и избыточного давления Избыточное давление может быть как положительным так и отрицательным, например, в точке О₂, где избыточное давлениеP_изб.=₂

Так как Земля окутана атмосферой, то все объекты на поверхности Земли испытывают атмосферное давление. Поэтому в технических расчётах часто давление отсчитывают от атмосферного. Рассмотрим числовую ось давлений рис. 4.3. Давление, отсчитываемое от нуля будет абсолютным давлением (). Положительное избыточное давление, отсчитываемое от уровня атмосферного давления называют манометрическим давлением:

P_м =P - P_a (4.8)

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом, т. е. В этом случае наблюдается разрежение по отношению к атмосферному давлению

B=P_a – P(4.9)

Очевидно, что величина вакуума не может быть численно больше атмосферного давления.

Давление в СИ измеряется в паскалях 1Па=1Н/1м². Для перехода к единицам измерения других систем приняты следующие переходные коэффициенты: 1ат=1кгс/1см²=98066,5Па (точно);

1мм. рт. ст.=133,322Па;

1бар=10⁵Па.

Размерность давления: lim p=ML^-1T^-2.

Уравнение (1.3) можно записать в виде, разделив на

. (4.10)

В уравнении (4.10) каждый член представляет собой напор. Напором называют энергию, содержащуюся в единице веса жидкости.

Напор измеряется в метрах, так как

Т. о. напор жидкости можно представить как столб жидкости некоторой высоты и как удельную энергию.

Величину называют полным гидростатическим напором, z – геометрическим напором,- пьезометрическим напором. Таким образом, в любой точке пространства, занятого покоящейся жидкостью, сумма геометрического и пьезометрического напоров постоянна и равна полному напору.