3.11. Друга важлива границя

Так називається рівність

. (1)

За формулою (1) розкривається невизначенність вигляду .

Для доведення (1) перетворимо співвідношення (2) із 3.10.:

Перейшовши формально до границі під знаком логарифма в останній рівності, отримаємо

(2)

Замінимо в (2) (при ) одержимо рівносильну рівність (1).

Зауважимо, що перехід до границі під знаком логарифма ми здійснили формально. Для його строгого обгрунтування потрібно послатись на властивість неперервності цієї функції. Мова про це піде пізніше.

Приклади

1. 

2. Виділяємо цілу частину =

3.

, оскільки

Приклади для самостійного розв’язання.

1. . 2.. 3..

4. . 5.. 6..

7. . 8.. 9..

10. .

Відповіді. 1. . 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10..

3.12. Порівняння нескінченно малих (н.м.)

Відомо, що дві сталі величини і можна порівнювати між собою або за допомогою дій віднімання (), або ділення . При порівнянні н.м. і до згаданих операцій додається ще перехід до границі, коли скінченне або .

Означення 1. Якщо відношення двох нескінченно малих має скінченну границю відмінну від нуля, тобто

а, значить,

то і називаються нескінченно малими одного порядку.

Приклад. Функції і при є н.м. одного порядку, бо

Означення 2. Якщо відношення двох н.м. дорівнює нулю, тобто

то називається нескінченно малою вищого порядку в порівнянні з н.м. , а н.м. є н.м. нижчого порядку в порівнянні з .

Приклади. Нехай а і . Розглянемо

Отже є н.м. вищого порядку в порівнянні з. Це означає, що швидше зменшується ніж . Щоб оцінити степінь зменшення однієї н.м. в порівнянні з іншою, вводиться поняття порядку зміни.

Означення 3. Н.м. називається н.м. k-того порядку відносно н.м. , якщо і є н.м. одного порядку, тобто

Приклад. Нехай а Оскільки

то є н.м. другого порядку відносно

Означення 4. Якщо границя відношення двох н.м. і дорівнює одиниці, тобто

то і називаються еквівалентними н.м. і при цьому пишуть .

Таблиця основних еквівалентних н.м.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 

Формули 1–7 були отримані в попередніх параграфах. Розглянемо останню.

Заміна =

=

Наведена таблиця використовувається при розкритті невизначеностей.

Нехай н.м. і мають своїми еквівалентними і , тобто Тоді має місце теорема.

Теорема 1. Границя відношення двох н.м. функцій дорівнює границі відношення їх еквівалентних величин, тобто

Дійсно,

Приклад.

1. 

Теорема 2. Якщо і – еквівалентні н.м. (), тобто

то їх різниця – є н.м. вищого порядку ніж або .

Дійсно,

Теорему 2 треба мати на увазі при знаходженні границь.

Розглянемо

Хоча і є н.м. першого порядку в порівнянні з , їх різниця матиме більш високий порядок, тому використання таблиці не допоможе. В даному випадку необхідно перетворити

Тепер

Отже, згідно з означенням 3 можна зробити висновок, що є н.м. третього порядку в порівнянні з .