3.4. Властивості границь

Теорема 1. Якщо функцію при можна представити у вигляді суми сталої і нескінченно малої , тобто

, (1)

то

(– скінченне або ). (2)

Навпаки, якщо , то можна записати

де н.м. при .

Дійсно, нехай тоді де н.м. при , тобто для таке, що із нерівності нерівність , або , а це і значить, що має місце рівність (2).

Навпаки, нехай виконується рівність (2). А це означає, що для таке, що із Позначимо , тоді остання нерівність означає, що

тобто н.м.

Наслідок. Якщо то тобто границя сталої величини дорівнює цій сталій.

Дійсно, за теоремою 1 маємо або буде меншою .

Теорема 2. Нехай існують скінченні границі і .Тоді,

за умови, що .

Доведемо, наприклад, другу рівність. За теоремою 1(формула 1) з того, що і маємо: де і – н.м. при . Розглянемо добуток н.м. За теоремою 1 маємо, що число є границею функції при , тобто

Рівності перша і третя теореми 2 доводяться аналогічно.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі, тобто якщо то

оскільки

Означення 1. Функція називається обмеженою при , якщо існує окіл з центром в точці , в якому функція обмежена.

Означення 2. Функція називається обмеженою при , якщо існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , функція обмежена.

Теорема 3. Якщо границя є скінченною, то функція обмежена при .

Доведення дамо, коли скінченне. Із рівності випливає, що для існує таке, що із випливає тобто обмежена.

3.5. Теореми про існування границь

Теорема 1. Нехай при (скінченне або ) для трьох функцій виконується нерівність

Якщо існують границі і , які дорівнюють числу , то існує

.

Доведення. Очевидно, що із нерівності

За теоремою 1 із 2.4. н.м., н.м. при . Це значить, що для довільного можна знайти таке, що з нерівності а, отже, тобто .

Теорема 2. Якщо функція зростає, і якщо вона обмежена зверху, тобто , то ця функція має границю , де, а -скінчене або(див.рис.23 ).

Рис. 23.

Аналогічне твердження має місце і для спадної, обмеженої знизу, функції .

3.6. Односторонні границі

Будемо розглядати процес, коли змінна , але при цьому залишається меншим , тобто зліва. Цей факт позначають (зл. – зліва), або зручніше записувати . Аналогічно, якщо і то будемо говорити, що справа, позначають або .

Означення. Число називається лівою границею функції в точці , якщо вона визначена на деякому напівінтервалі і для неї існує .

Аналогічно, якщо визначена в напівінтервалі і існує , то називається правою границею функції .

Ліва – і права границі називають односторонніми. Їх ще прийнято позначати

Зауваження. Рівності

еквівалентні , тобто якщо односторонні границі існують і рівні в точці , то існує границя функції .

Якщо ж односторонні границі різні, тобто

або хоча б одна з них не існує, тоді не існує й границя функції при .

3.7. Невизначеності. Приклади знаходження деяких границь

При знаходженні границі ми використовуємо їх властивості, зокрема теорему 2 із 3.4. Можуть виникати такі випадки.

1. Якщо функція визначена в точці , то

,

тобто границя функції збігається з її значенням в точці .

2. Якщо ж функція в точці невизначена або, то можуть зустрітись співвідношення вигляду:, які називаютьсяневизначеностями.

В більшості таких прикладів для знаходження границі над функціями, що стоять під знаком необхідно виконати певні тотожні перетворення, або ще говорять : “позбавитися невизначеності” або “розкрити невизначеність”. А там, де невизначеності не зустрічаються, розв’язання здійснюються у відповідності теореми 2 та властивостей.

Розглянемо кілька конкретних прикладів з поясненнями

1. Знайти згідно теореми 2, а також =

за наслідками із 2.4

=

тобто границя функції збігається з її значенням, бо .

2)

Оскільки функція в точці невизначена, і то теорему 2 не можна застосовувати. Робимо перетворення.

=

=

Ф-я – обмежена –н.м. , оберненна н.в., добуток їх – н.в.

=

.

3)

В точці ф. невизначена корінь чисельника і знаменника. Розклад на множники

=

=

оскільки і, то на скорочуємо

=

Зауваження. У загальному випадку, якщо

то необхідно зробити тотожні перетворення так, щоб і тоді замість

розглянути

Це, зокрема, стосується випадку, коли , тоді за допомогою тотожності

(1)

отримаємо

де .

Аналогічно для береться тотожність

(2)

тоді

4. 

5. 

6) див. формулу (2) =