9. Инфинитезимальные процессы

Выше уже говорилось, что античные атомы находятся в непрерывном движении и функционально связаны между собой. Что это за непрерывность и функциональность? Античные атомисты находятся еще на такой наивной ступени мышления, когда такого рода вопросы ставятся, главным образом, интуитивно. В те времена еще не входили в подробный анализ такого рода проблем и не создавали для них точного логического аппарата. Говорилось, например, просто о сцеплении или захвате атомов (Маков. 48. 54. 76), причем сцепление понималось весьма наивно, как результат крючковатой (Маков. 291) или вообще изогнутой формы атомов. Говорилось также о трясении атомов во всех направлениях (Маков. 79). И вместе с тем признание таких глубочайших факторов, как непрерывность и функциональность, приводило (конечно, тоже еще в интуитивной и мало расчлененной форме) к выводам огромной теоретической важности. Ведь если u есть функция от х, то при условии непрерывности этой функции и в условиях образования все новой и новой качественности в каждый момент изменения u и х, т.е. в условиях возможности, трактовать каждый момент изменения как предел всех предыдущих моментов их изменения, мы имеем дело уже с инфинитезимальными представлениями. Мы должны теперь рассматривать каждый атом как дифференциал того или другого качества, получаемый в результате его непрерывного движения в зависимости от какого-нибудь другого или многих других атомов; а сложное тело мы тем самым должны рассматривать как интеграл, возникающий в результате непрерывного становления образующих его элементов. Либо нужно расстаться с представлением античных атомистов о нераздельности материи и движения и о закономерности этого движения, либо мы должны заключить, что античные атомисты в интуитивной и мало расчлененной форме уже оперировали понятиями дифференциала, интеграла и производной.

Начатки математического анализа в греческой атомистике констатируются уже издавна. Можно указать, например, работу M.Simon "Geschichte der Mathematik im Altertum" Berl., 1909. Здесь доказывается, что атом Демокрита есть дифференциал массы, что объем тела у него есть "интеграл, сумма бесконечно малых призм", что Демокрит, во всяком случае, занимался проблемой непрерывности (на это указывает название не дошедшего до нас его сочинения "Об иррациональных отрезках прямой и континууме, nastzn", что метод Демокрита напоминает Кавальери и что Демокрит пока еще не смог "доказать" правильности и необходимости применения инфинитезимального метода, но он его уже "указал", что Демокрит "соединил" учение пифагорейцев о пустоте, Эмпедокла - о порах и Анаксагора - о бесконечно малых в общее учение о дифференциале массы, пространства и движения. И.Л.Гейберг тоже пишет о Демокрите: "...многое заставляет предполагать в нем предшественника Архимеда в области исчисления бесконечно малых"99. Необходимо указать также на работу R.Phillppson "Democritea" ("Hermes", 64 Bd. 1929, стр. 175 - 183), где тоже устанавливается наличие у Демокрита учения о бесконечно малых. Новейшей в этой области является работа J.Mau "Zum Problem des Infinitesimalen bei den antiken Atomisten", Berl., 1957, где в убедительной форме доказывается наличие идеи бесконечно малых у греческих атомистов и обсуждается полемика последних с элеатами.

Не обошлось также и без возражений. E.Hoppe в специальной статье "Die Entwicklung des Infinitesimalbegriffs" (Philologus, Berl., 76, 1920, стр. 355 - 359) доказывает, на основании известного текста Плутарха, что Демокрит, разделяя конус на параллельные пластинки, не смог получить образующей конуса в виде прямой линии и что, следовательно, понятия дифференциала и интеграла были ему чужды. Открытие бесконечно малых E.Hoppe приписывает Платону, используя учение последнего о беспредельном в "Филебе" (17 А, 18 А, 24 А, 25 В, 27 1"). Возражал против идеи бесконечно малых у атомистов и E.Frank в работе "Plato und die sogenannten Pythagoreer".

В советской науке С.Я.Лурье в своих многочисленных работах рассматривал учение греческих атомистов с точки зрения математического анализа, подвергая обстоятельной критике дошедшие до нас источники по этому вопросу. Здесь мы укажем основной труд С.Я.Лурье из этой области "Теория бесконечно малых у древних атомистов" (М. - Л., 1935)100. Вопроса о бесконечно малых у атомистов кратко касается и А.О.Маковельский в "Древнегреческих атомистах" (Баку, 1946), И.Г.Башмакова в своих "Лекциях по истории математики в древней Греции" ("Историко-математические исследования", вып. ХI, под ред. Г.Ф.Рыбкина и А.П.Юшкевича. М., 1958, стр. 331). Учитывая те трудности, которые возникали у Демокрита в его учении о конечной делимости на путях математического анализа, она совершенно правильно пишет: "И все же в концепции Демокрита содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая впервые по-настоящему была оценена только Архимедом. Мы говорим о выдвинутом им принципе составления тел из большого числа маленьких частиц, размеры которых известны. В этом можно видеть зародышевую формулу интеграционных методов". Необходимо, наконец, указать на весьма ценное освещение математической проблематики у Демокрита, данное В.Ф.Асмусом в его работе "Демокрит" (М., 1960, стр. 35 - 41).