розв’язати систему рiвнянь;
•порiвняти отриманий розв’язок із даними експерименту та виявити розбiжностi, визначити їх причини;
ввести виправлення в математичну модель.
III етап - дослiдження математичної моделi, тобто використання її на практиці. Кiнцевою метою цього етапу є отримання нової iнформацiї про об’єкт, що вивчається.
12.2. Математична модель “ Хижаки - жертви”
Уперше в бiологiї математичну модель перiодичної змiни числа антагонiстичних видiв тварин запропонував iталiйський математик В.Вольтерра. Модель, яка була ним запропонована , - це розвиток iдеї, описаної у 1924 роцi А. Лоткi в книзi “ Елементи фiзичної бiологiї”. Ось чому ця класична матмодель вiдома як “модель ЛоткiВольтерра”.
Хоча в природi вiдносини антагонiстичних видiв бiльш складнi, ніж у моделi, проте вона є непоганою навчальною моделлю, на якiй можна вивчати основнi iдеї матмоделювання.
Задача моделювання формулюється таким чином.
У певному, екологiчно закритому районi, живуть два види тварин (наприклад, рись та крiль). Кролi (жертви) живляться рослинною їжею, якої завжди достатньо. Рисi (хижаки) можуть живитися тiльки кролями. Необхiдно знайти, як буде змiнюватися кількість жертв та хижакiв у такiй екологiчнiй системi.
Позначимо кількість жертв через N, а кількість хижакiв через M. Числа M та N є функцiями від часу Т. У даній моделi врахуємо такi фактори:
1. Природне розмноження жертв;
2.Природна загибель жертв;
3 Знищення жертв за рахунок поїдання їх хижаками;
4. Природне вмирання хижакiв;
114
5.Збiльшення кількості хижакiв за рахунок розмноження за наявностi їжі. Оскільки мова йде про математичну модель, то задачею є одержання таких рiвнянь, в які б входили всi ці фактори та які б описували динамiку, тобто змiну
кількості хижакiв та жертв із часом.
Нехай за деякий час Т кiлькiсть жертв і хижакiв змiниться на N та M. Змiна кількості жертв N за час Т визначається, по - перше, збiльшенням унаслідок природного розмноження (яке пропорційне кількості жертв):
( N ) 1 = A N T |
(1) |
де A - коефiцiєнт пропорцiйностi, який |
характеризує швидкiсть |
розмноження жертв у даних умовах. По - друге, має мiсце також зменшення кількості жертв через природне вмирання:
( N) 2 = -B N T |
(2) |
Знак мiнус означає зменшення. В основi виведення рiвняння, яке описує зменшення кількості жертв за рахунок з’їдання їх хижаками, міститься iдея - чим частiше відбуваються їх зустрiчi, тим швидше зменшується кількість жертв. Зрозуміло, що частота зустрiчей хижака з жертвою пропорцiйна і
кількості хижакiв, і кількості жертв, тобто їх добутку M N. |
|
|
Ось чому можна записати: |
|
|
( N )= -C N M T |
(3) |
|
Тут коефiцiєнт С характеризує частоту зустрiчей хижака з жертвою. З |
||
урахуванням усiх факторiв можна записати таке рiвняння: |
|
|
N= A N T - B N T - C M N T |
(4) |
|
Якщо роздiлити лiву та праву частини рiвняння (4) на Т та перейти до |
||
межі Т 0, отримаємо диференцiйне рiвняння першого порядку: |
|
|
dN/dT = A N - B N - C M N |
|
(5) |
Змiна кількості хижакiв М визначається збільшенням через природне |
||
розмноження за наявностi достатньої кiлькостi їжі ( M1 |
= Q N |
M T) та |
зменшенням через природне вмирання хижакiв M2 = - P M T: |
|
|
M = Q N M T - P M T. |
|
(6) |
115 |
|
|
Із рiвняння (6) можна отримати диференцiйне рiвняння:
dM/dT = Q N M - P M |
(7) |
Диференцiйнi рiвняння (5) та (7) становлять собою математичну |
|
модель “Хижаки - жертви”. Достатньо |
знайти значення коефіцієнтів A, B, |
C, Q, P і математичну модель можна використовувати для розв’язання поставленої задачi.
12.3.Математичне моделювання в імунології
Iмунiтет - складний комплекс вiдповiдних реакцiй органiзму на вторгнення антигенiв - чужорідних об’єктiв або змінених власних клiтин, тканин, бiлкiв. Специфiчна iмунна реакцiя на молекулярному рiвнi починається з того, що спецiалiзованi плазматичнi клiтини виробляють у великій кiлькостi бiлковi молекули антитiла, якi нейтралiзують антигени. Антитiла мають конформацiю, яка комплементарна ділянці поверхнi антигену. Ось чому антитiло, взаємодiючи з антигеном, діє як ключ із замком, i комплекс, який утворився, зазнає лiзису ферментами.
Розглянемо модель роботи iмунного апарату пiд час тривалої iнфекцiйної хвороби. Дана модель використовується в клiнічнiй практицi в лiкуваннi вiрусного гепатиту, гострої пневмонiї.
При дослiдженнi характеру розв’язку математичної моделi отримано чотири основні форми перебігу iнфекцiйної хвороби. На мал.1 показанi можливi випадки динамiки iмунної реакцiї (Х - к-сть антигенiв, t- час).
X 4
3
2
1 
t
мал. 1
116
Перебіг субклiнічної форми (1) розвивається без фiзіологiчних розладiв в органiзмi та без зовнiшнiх проявiв. Засоби iмунного захисту легко знищують антигени, не даючи їм розмножуватися до небезпечних розмiрiв.
Гостра форма (2) - у цьому випадку органiзм атакується невiдомим антигеном i у великій кiлькостi. На перших етапах відбувається його посилене розмноження. Коли ж iмунна система виробляє проти нього достатню кiлькiсть антитiл, кiлькiсть антигенiв рiзко зменшується.
Хронiчна форма (3) - встановлюється динамiчна рiвновага антигенiв та антитiл. Виникає стiйка форма хвороби.
Летальна форма (4) - iмунна вiдповiдь запiзнюється i бiльша кiлькiсть антигенiв викликає в органiзмi руйнівнi змiни.
Математична модель iмунної реакцiї на iнфекцiйні хвороби становить собою три взаємозалежнi диференцiйнi рiвняння:
dX/dt = A X - B X Y - C X |
|
dY/dt = D Z - K X Y - L Y |
(8) |
dZ/dt = M F(X) - N Z |
|
Де Х - кiлькiсть антигенiв; Y - кiлькiсть антитiл; Z - кiлькiсть плазматичних клiтин, якi виробляють антитiла.
Взаємозв’язок “хвороботворного початку” - антигенiв та iмунних сил органiзм - у в цiй математичнiй моделi має характер, подiбний до взаємозв’язку в системi “хижак - жертва”. Ось чому два перші рiвняння схожi на вивченi в попередньому роздiлi. “Жертвою” тут виступає чужорідний агент, який у моделi буде кiлькiсно описуватися концентрацiєю потрiбного антигена Х. “Хижаком” виступають анитіла Y, що утворені від кількості Z цих клітин.
Не будемо детально обговорювати виведення цих рівнянь. Лише зауважимо, що в даній моделі враховані такі фактори:
1. Розмноження антигенів (йдеться про розмноження чужорідних вірусів та бактерій в організмі власника). Коефіцієнт розмноження А обчислюється
117
обернено пропорційно до температури, тобто А= А(Т)= А(0)/Т. Цим самим буде врахований пригнічувальний вплив високої температури на розмноження антигенів.
2.Самостійний розпад антигенів та антитіл із коефіцієнтами C i L.
3.Самостійна загибель плазматичних клітин із коефіцієнтом N.
4.Взаємодія антиген - антитіло в реакції аглютинації пропорційна
ймовірності зустрічі потрібного антитіла з антигеном, тобто X Y.
5.Надходження антитіл у кров пропорційне концентрації клітин Z.
6.Швидкість утворення плазматичних клітин визначається залежністю не просто від концентрації антигену Х, а від певної функції F(X). Ця функція на даній моделі представлена у вигляді гіперболічної залежності:
F(X) = Х / (Q + X) |
(9) |
Коефіцієнт М вважається |
пропорційно залежним від температури |
(М=(М(Т)). |
|
Дослідження математичної моделі полягає в розв’язуванні отриманої системи диференційних рівнянь за відомих значень коефіцієнтів А, B, C, D, K, L, M, N та початкових умов X(0), Y(0), Z(0). Особливо важливо при цьому те,
що одна й та сама модель за різних початкових умов або коефіцієнтів дає зовсім різну динаміку процесу. Значення цих коефіцієнтів отримують за результатами спеціальних біохімічних аналізів; у кожної людини вони індивідуальні.
Пояснимо вищезазначене на прикладі. Припустимо, що лікар отримав із лабораторії значення всіх коефіцієнтів свого пацієнта. Ці дані можна ввести в
ЕОМ, яка, розв’язавши систему рівнянь за цих значень коефіцієнтів, видасть прогноз того, яким чином буде розвиватися інфекційна хвороба у даного хворого (мал. 1).
Однак, математична модель може допомогти лікареві і в лікуванні. Наприклад, у медичній практиці лікування деяких інфекційних хвороб проводять методом загострення, тобто переведенням хронічної форми в гостру з подальшим одужанням (мал. 2). Для цього потрібно штучно загострити
118
хворобу, тобто ввести в організм у певний момент часу (t 1,t 2) певну кількість Р біостимулятора непатогенного антигену, який буде конкурувати, не розмножуватися; він через деякий час викличе підсилену імунну відповідь, яка викличе швидке одужання.
Х
t1 |
t2 |
t |
мал.2 Дослідження математичної моделі дозволяє знайти кількість
біостимулятора та момент часу його введення в організм хворого, за яких графік перебігу хвороби набуває бажаної форми.
Потім лікар на основі такого дослідження моделі на ЕОМ може ввести знайдену дозу біостимулятора хворому.
Перехід хронічної форми в гостру можна здійсгити за допомогою температурного ефекту. В цій математичній моделі значення всіх коефіцієнтів сталі, за винятком коефіцієнтів А та М, які відповідають за розмноження антигенів та утворення плазматичних клітин. Значення цих двох коефіцієнтів при різних температурах організму різні, тобто, змінюючи штучно температуру організму чи його частини в певних межах за допомогою лікарських чи фізіотерапевтичних засобів, які не шкодять імунній системі, можна отримати потрібний результат. У цьому разі не обійтися без дослідження математичної моделі на ЕОМ. Багаторазовий розрахунок моделі при різних значеннях температури Т може дозволити найти таку температуру, при якій графік перебігу хвороби набуває потрібної форми.
119