
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава III. Евклидовы пространства
- •§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
- •Свойства скалярного произведения
- •§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
- •Свойства длины в евклидовых пространствах
- •§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
- •§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств
- •Глава IV. Теория линейных операторов в векторных пространствах
- •§ 1. Определение и простейшие свойства
- •Простейшие свойства линейных операторов
- •§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах
- •Простейшие свойства матричного формализма
- •§ 3. Матрица перехода от базиса к базису
- •Свойства матрицы перехода
- •Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
- •§ 4. Матрица линейного оператора
- •Координатная форма записи линейного оператора
- •Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису
- •Свойства матрицы линейного оператора
- •§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора
- •§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора
- •§ 7. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи
- •§ 9. Post Scriptum : о подобии матриц
- •§ 10. Спектр симметричного оператора Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства
- •Симметричные линейные операторы
- •Глава V. Дифференцирования в банаховых пространствах
- •§ 1. Метрические пространства
- •Матричные нормы
§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
Пусть V – конечномерное евклидово пространство, e = (e1 , … , en) – конечная система векторов в V. Система e называется ортогональной, если (ei , ej) = 0 при i j. Если в дополнение к этому длины всех векторов системы e равны 1, то она называется ортонормированной.
Замечание. Если n = 1, то условие ортогональности не требует ничего, а для ортонормированности необходимо и достаточно, чтобы |e1| = 1.
Примеры: 1. Пусть V = R3 – стандартное евклидово пространство. Тогда система векторов ((1; –1; 0), (1; 1; 0), (0; 0; 1)) является ортогональным, но не ортонормированным базисом, а система векторов
((; –
; 0),
(
;
; 0),
(0; 0;
1))
является ортонормированным базисом пространства V.
2. Стандартный базис стандартного евклидова пространства ортонормирован.
Замечание.
Если базис
e
= (e1
, … , en
)
векторного пространства V
ортогонален,
то система векторов f
= {fi
=
ei
| 1
i
n } является ортонормированным базисом
.
В самом деле, система f = (f1 , … , fn) эквивалентна системе e (т.к. каждый её вектор получен умножением соответствующего вектора системы e на ненулевой скаляр). Поэтому f – базис. Кроме того,
(fi
, fj)
= (ei
,
ej
) =
(ei
, ej
) =
.
Таким образом, система f ортогональна и |fi| = 1 (1 i n), что и требовалось.
Теорема (об ортонормированном базисе). Ненулевое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть V – ненулевое n-мерное евклидово пространство с базисом e = (e1 , … , en). Проведем индукцию по числу n.
Если n
= 1, то f
= () – искомый
ортонормированный базис.
Предположим, что евклидово пространство с базисом (e2 , … , en) и тем же скалярным произведением, что и V, обладает ортонормированным базисом (f2 , … , fn). Найдём ортонормированный базис для V. Для этого рассмотрим вектор g = e1 – (e1 , f2)f2 – … – (e1 , fn)fn . Тогда
(g
,
fi
)
= (e1
–
,
fi
)
= (e1
,
fi)
–
=
= (e1 , fi )–(e1 , fi ) = 0,
т.к. (fk
, fi
) = ki
– символ
Кронекера (величина, равная 0
при k
i
и 1 – при
k
= i).
Итак, система векторов (g
, f2
, … , fn)
ортогональна
и эквивалентна системе (e1
, f2
, … , fn)
– базису
пространства V
(?!),
т.е. является
ортогональным базисом V.
Осталось
заменить g
на f1
=
.
Теорема доказана.
Пример. Найти ортонормированный базис пространства, порожденного в R4 векторами e1 = (0; 1; 0; –1), e2 = (1; –1; 1; 0), e3 = (1; 0; 0; 1) (скалярное произведение в R4 предполагается стандартным).
Последовательно
строим ортонормированный базис, как
при доказательстве теоремы. Полагаем
f3
=
e3
=
(1,
0, 0, 1) и g
= e2
– (e2
, f3
)f3
= = (1; –1; 1; 0) –
(1;
0; 0; 1) = (
; –1; 1; –
).
Тогда (g
, f3
) =
0,
и можно положить f2
=
=
g
=
(
; –1; 1; –
).
Теперь (f2
, f3)
– ортонормированная система векторов,
эквивалентная (e2
, e3).
Точно так же, полагаем далее
g = e1 – (e1 , f2 )f2 – (e1 , f3 )f3 =
= (0;
1;
0;
–1) –
(
; –1;
1;
–
)
–
(1;
0;
0;
1)
=
= (0; 1; 0; –1) +
(
; –1; 1; –
)
+
(1;
0; 0; 1) = (
;
;
; –
).
Система (g , f2 , f3 ) ортогональна и, значит, можно взять
f1
=
=
(3;
4; 1; –3).
Ответ:
(3;
4; 1; –3),
(
; –1; 1; –
),
(1;
0; 0; 1).
Описанный в теореме процесс построения ортогонального базиса, проиллюстрированный примером, называется процессом ортогонализации заданной системы векторов.
Упражнение. Проведите процесс ортогонализации векторов
(1; 2; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0; 0; 1; 2), (0; 0; 2; 1)
в стандартном евклидовом пространстве R4.