Симметричные линейные операторы

Квадратная матрица A порядка n над полем F называется симметричной, если A^t = A. Линейный оператор h: Fⁿ Fⁿ называется симметричным, если его матрица в стандартном базисе симметрична. Нашей целью является доказательство следующей важной теоремы:

Теорема (о спектре симметричного линейного оператора). Собственные числа симметричного оператора h: Rⁿ Rⁿ вещественны, а его матрица диагонализируема (по диагонали стоят собственные числа).

Доказательство. Пусть A – матрица симметричного оператора h в стандартном базисе,  =  + i – её (возможно, комплексное) собственное значение (,  R), а z – соответствующий ему собственный вектор с (возможно, комплексными) компонентами z_k = x_k + iy_k (x_k , y_k  R, 1  k  n). Тогда z = x+ iy, где x, y – вещественные векторы с компонентами x_k , y_k  R, (1  k  n). Задумайтесь: почему у матрицы A есть хотя бы одно собственное число и собственный вектор ?

Так как Az = z , то A(x+ iy) = (+ i)(x+ iy). Учитывая, что A вещественная матрица, и сравнивая действительные и мнимые части в полученном равенстве, приходим к двум условиям: Ax = x – y, Ay = y + x . При этом (Ay = y +x)  ((Ay)^t = (y + x)^t)  (y^tA^t = (y^t + x^t)). Учитывая, что A^t = A, получаем систему . Умножая первое уравнение наy^t слева, а второе – на x справа, и вычитая одно из другого, приходим к равенству

0 = –y^ty – x^tx = –(y₁² + … + y_n² + x₁² + … + x_n²).

Отсюда либо  = 0, либо y₁ = … = y_n = x₁ = … = x_n = 0. Последняя возможность исключается, т.к. собственный вектор z = x+ iy ненулевой, и, значит,  = 0. Итак,  R .

Для доказательства диагонализируемости матрицы A проведем индукцию по n и докажем, что существует такая ортогональная матрица S, что матрица S^–1AS = D диагональна с собственными числами матрицы A по диагонали (ортогональность матрицы S означает, что S^–1 = S^t – транспонированная матрица). При этом будем рассматривать пространство ⁿR как евклидово со стандартным скалярным произведением (x, y) = x^ty .

База индукции (n = 1) очевидна. Предположим, что любая симметричная матрица порядка n – 1 диагонализируема с собственными числами по диагонали, и докажем это для матрицы A порядка n. Пусть  – одно из её собственных чисел (которые, по доказанному выше, все вещественны), а x – соответствующий собственный вектор с вещественными (?!) компонентами и U = L(x) – одномерное подпространство в ⁿR , натянутое на вектор x. По теореме об ортогональном дополненииподпространства имеем ⁿR = U  U^, где U^ = { y  ⁿR | x^ty = 0 }.

Заметим, что  y  U^ Ay  U^. Действительно, x^tAy = (?!) = (Ax)^ty = = (x)^ty = x^ty = 0. Таким образом, если f₁ , … , f_n_–1 – ортонормированный базис пространства U^ , то Af_i = . Это значит, что в базисе e = (x, f₁ , … , f_n_–1) матрица [h]_e распавшаяся:

[h]_e = T^–1AT = ,

где B = (b_ij)  M(n–1, F), T = (,f₁ , … , f_n), T^–1 = T^t . При этом полученная матрица снова симметрична:

(T^–1AT)^t = (T^tAT)^t = T^tA^t(T^t)^t = T^tAT = T^–1AT.

В частности, симметрична матрица B, к которой применимо предположение индукции.

По предположению индукции, B = P^–1P, где P^–1 = P^t ,  – диагональная матрица с собственными числами матрицы B по диагонали, так что

– диагональная матрица с собственными числами матрицы A по диагонали (?!). В итоге , где сопрягающая матрица T ортогональна:

Теорема доказана.

Примеры: 1. Если h : R²  R² , где h(x, y) = (x + y ; x + y), то в стандартном базисе [h]_e = A = . Для нахождения её диагональной формы найдём собственные числа и собственные векторы.