§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Пример 1.3.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

x 2 y 3z 0, 2x y 4z 5, 3x y z 2.

Решение:

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме

19

Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы B на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей.

Далее из второй строки вычтем третью, в результате в

Ранг матрицы в ее ступенчатом виде равен числу ненулевых

неизвестных, то данная система совместна и имеет единственное решение.

а) Решим систему линейных уравнений по формулам Крамера. Вычислим главный определитель системы, составленный из

коэффициентов при неизвестных системы:

1 2 3

2 1 4 10 0 .

3 1 1

Так как 0 , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

столбцов столбцом свободных членов.

Вычислим вспомогательные определители:

20

б) Рассмотрим матричный метод решения данной системы линейных уравнений:

x 2 y 3z 0; 2x y 4z 5; 3x y z 2.

Решение:

21

уравнений. Для этого первое уравнение умножим на (-2) и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на (-3) и сложим с третьим уравнением:

Далее из второго уравнения вычтем третье, и затем все коэффициенты разделим на (-5), получим:

x 2 y 3z 0,

22