ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Пример 1.1.
Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения для элементов a12 ; a33 . Вычислить определитель :
а) разложив его по элементам первой строки; б) разложив его по элементам третьего столбца;
в) получив предварительно нули в четвертом столбце.
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
Решение:
Минором элемента aij определителя n -го порядка называется определитель ( n 1 )-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца. Обозначается Mij . Найдем
миноры M12 ; M33 |
для заданных элементов a12 |
1; a33 |
1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
4 |
1 |
2 |
2 1 2 |
1 3 2 |
2 |
1 |
1 |
||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 1 4 |
2 3 2 |
|
|
8 |
4 |
6 |
|
2 |
8 |
12 |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
|
2 1 2 |
|
1 |
1 2 |
4 |
1 |
3 |
3 1 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
1 |
2 |
2 1 |
|
1 |
|
|
4 |
2 |
12 |
6 |
8 |
2 |
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6
Алгебраическим дополнением элемента aij называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма i j – четная и “-”, если эта сумма нечетная. Обозначается Aij .
|
|
|
A |
1 i j |
M |
ij |
. |
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
Вычислим |
алгебраические |
|
|
дополнения |
элементов |
||
a12 |
1; a33 |
1; |
|
|
|
|
|
|
A |
1 1 |
2 M |
12 |
1 3 |
M |
12 |
M |
12 |
16; |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 3 |
3 M |
33 |
1 6 |
M |
33 |
M |
33 |
8. |
||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) Вычисление определителей четвертого порядка и выше удобно проводить, используя свойство: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aik Aik |
или |
|
|
|
akj Akj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти формулы называются разложением определителя |
|
по элементам |
||||||||||||||||||||||||||
i ой строки или |
j го столбца соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Разложим определитель четвертого порядка по элементам |
||||||||||||||||||||||||||
первой строки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
a14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
|
a23 |
a24 |
|
|
a11 A11 |
a12 A12 |
a13 A13 |
a14 A14. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
a34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a41 |
a42 |
|
a43 |
a44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 2 |
|
3 |
1 |
1 |
|
1 |
1 3 |
3 |
1 |
1 |
|
0 |
1 4 |
3 |
3 |
1 |
|
|||||||
|
3 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
1 5 |
3 |
3 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
6 |
2 |
1 |
2 |
12 |
8 |
6 |
4 |
2 |
8 |
12 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
24 |
6 |
2 |
|
12 |
4 |
6 |
2 |
|
13 |
|
16 |
|
3 |
6 |
|
|
26 |
16 |
18 |
24. |
|
||||||
б) Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:
7
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a24 |
|
a13 A13 |
|
a23 A23 |
a33 A33 |
a43 A43 ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a34 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a41 |
a42 |
a43 |
|
a44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
1 4 |
3 |
|
3 |
1 |
|
2 |
1 5 |
3 |
3 |
1 |
|
1 |
|
1 6 |
4 |
1 |
1 |
|
||||||
|
3 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
1 7 |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
12 |
9 |
2 |
18 |
|
2 |
|
6 |
4 |
|
12 |
2 |
6 |
2 |
8 |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
36 |
3 |
9 |
6 |
4 |
|
2 |
9 |
|
6 |
|
2 |
24 |
18 |
6 |
48 |
|
24. |
|
|
||||||||
в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в четвертом столбце.
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
элементы третьей строки (рабочей) перепишем в преобразованный определитель без изменений; 
умножим все элементы третьей строки на (-3), прибавим к
соответствующим элементам первой строки, а результаты запишем в первую строку преобразованного определителя; 
умножим элементы третьей строки на (-1) и прибавим к
соответствующим элементам второй строки, результат запишем во вторую строку преобразованного определителя; 
умножим все элементы третьей строки на (-2), прибавим к
соответствующим элементам четвертой строки, результат запишем в четвертую строку преобразованного определителя.
После этих преобразований значение определителя не изменится, но он примет следующий вид:
7 |
10 |
3 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
0 |
. |
3 |
3 |
1 |
1 |
|
4 |
7 |
4 |
0 |
|
Теперь, разложив определитель по элементам четвертого столбца, вычислим его:
8