Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Vysshaya_matematika_Kolyada_Fedosova_Luparenko.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
5.54 Mб
Скачать

Пример 1.4.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

x y z 1, x y 2z 1, x y 3z 2.

Решение:

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

1 1 1 A 1 1 2 1 1 3

и ранг расширенной матрицы

1 1 1 1 B 1 1 2 1 .

1 1 3 2

Для этого первую строку умножим на (-1) и сложим почленно со второй и третьей строками соответственно результат запишем во вторую и третью строки:

 

1

1

1

1

1

1

1

1

B

1

1

2

1

0

0

1

0 .

 

1

1

3

2

0

0

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее вторую строку умножим на (-2) и сложим с третьей, получим:

1 1 1 1 B 0 0 1 0 0 0 0 1

Так как rangA 2; rangB 3 , то согласно теореме КронекераКапелли, из того, что rangA rangB , следует несовместность

исходной системы.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 1.5.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

23

2x y z 0,

5x y 2z 0, x 2 y z 0.

Решение: Вычислим определитель системы:

2

1

1

 

 

5

1

2

24

0.

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

0 ,

то

данная система имеет только одно

нулевое решение:

x

y

z

0 .

 

Ответ: x

0;

y

0;

z

0.

Пример 1.6.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

3x

4 y

2z

0,

x

y

4z

0,

5x

2 y

10z

0.

Решение:

Определитель этой системы

3 4 2

1 1 4 0,

5 2 10

поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строках, отличны от нуля, например,

 

3

4

 

3

4

7.

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем первые два уравнения системы и найдем ее решение.

 

Так как определитель, составленный из коэффициентов при

неизвестных x и y не

равен нулю, то

в качестве базисных

неизвестных

возьмем

x и

y (хотя можно

брать и другие

пары

неизвестных)

и

поместим

члены, содержащие неизвестную

z в

правую часть первого и второго уравнений:

 

 

3x

4 y

 

2z,

 

 

 

 

 

x

y

4z .

 

 

 

 

 

24

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]