§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 3.2
Найти расстояние от точки M 0 0;1; 1 до плоскости, походящей через
три точки M1 |
2;1;3 ; |
M 2 |
3;1; 2 |
; |
M 3 |
4; 7; 4 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки |
|||||||||||||||||
M1 |
x1 ; y1 ; z1 , |
M 2 x2 ; y2 ; z2 |
и M 3 |
x3 ; y3 ; z3 |
, имеет вид: |
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
x1 |
|
y |
y1 |
|
z |
|
z1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
x1 |
y2 |
|
y1 |
|
z2 |
|
|
z1 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x1 |
y3 |
|
y1 |
|
z3 |
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
плоскости, |
|
проходящей |
через |
точки |
||||||||||||
M1 |
2;1;3 , M 2 |
3;1; 2 |
и M 3 |
4; 7; 4 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
|
1 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
0. |
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
2 |
7 |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
|
1 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскладывая данный определитель по элементам первой строки, получим:
x 2 |
|
0 |
1 |
|
y |
1 |
5 |
1 |
|
z |
3 |
|
|
5 |
0 |
0 |
, |
|
|
6 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 x 2 3 y 1 30 z 3 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
x |
2 |
y 1 |
10 |
z |
3 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x y 10z 25 |
0 - уравнение плоскости M1M2 M3 . |
|||||||||||||||||
Расстояние |
|
от |
|
точки |
M 0 |
x0 ; y0 ; z0 |
|
до |
плоскости |
|||||||||
Ax By |
Cz |
D 0 вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
Ax0 |
By0 Cz0 |
D |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как M 0 |
0;1; |
1 |
и |
2x y |
10z |
25 0 - |
уравнение |
||||||||||
плоскости M1M2 M3 получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
1 1 |
|
10 |
1 |
25 |
|
37 |
|
(ед.дл.). |
|
||||
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
10 |
2 |
|
|
105 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ответ: 2x y 10z |
|
25 |
0 |
- уравнение |
|
плоскости |
M1M2 M3 , |
||||||||||
d |
37 |
|
|
(ед.дл.) - расстояние от точки M0 |
до плоскости M1M2 M3 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
105 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 3.3
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A 2;3;1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярно вектору BC , если B |
1; 0;3 |
|
и C 2;1; 2 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Воспользуемся формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
A x x0 |
|
|
B y y0 |
C z z0 |
0 , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где n |
A; B;C - |
нормальный вектор плоскости, проходящей через |
|||||||||||||||||||||
точку M 0 x0 ; y0 ; z0 |
. В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
и плоскость |
|||||||||||||
|
n |
|
BC |
3;1; |
1 |
||||||||||||||||||
проходит через точку |
A 2;3;1 |
, |
значит, |
уравнение плоскости будет |
|||||||||||||||||||
иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
1 |
y |
3 |
1 |
|
z |
1 |
|
0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x y z 8 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ответ: 3x y z 8 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Пример 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти угол между плоскостями: |
x |
2y |
|
2z |
3 |
|
0 и 3x |
4y 5 |
0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пусть |
даны |
плоскости |
|
1 : A1 x |
B1 y C1 z |
D1 |
0 |
и |
||||||||||||
2 : A2 x |
B2 y |
C2 z |
D2 |
0 . |
|
Углом |
между |
двумя |
|
плоскостями |
|||||||||||||
называется любой |
из |
двух |
двугранных |
углов, образованных этими |
|||||||||||||||||||
61