Varianty_IDZ_po_TViMS_Grafov_2012
.pdfМинистерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение
«Приазовский государственный технический университет» Кафедра «Высшая математика»
Варианты индивидуальных заданий к СРС по курсу "Математика для экономистов: теория вероятностей и математическая статистика"
для студентов экономических специальностей ФК,УА,МК,ЭП,МН
II семестр 20112012 учебного года
Лектор - старший преподаватель Графов В.В.
Мариуполь
2012
ИДЗ состоит из двух частей: «Теории вероятностей» (14 заданий) и «Математическая статистика» (1 задание). Вариант равен двум последним цифрам номера зачетной книжки или получается из них вычитанием 20, 40, 60 или 80 до получения номера, не превосходящего 19.
Работа сдаётся на проверку по частям на VII и XV неделях весеннего семестра. После проверки работа может быть возвращена для доработки и исправления ошибок. Все исправления должны приводиться в той же тетради после всех решений с указанием номера задания.
Для успешного выполнения первой части контрольной работы «Теории вероятностей» надо изучить следующие темы курса:
−Задания 1-5 – п. 1. Вероятность событий.
−Задания 6-9 – п. 2. Повторные независимые испытания.
−Задание 10 – п. 3. Случайные величины.
−Задание 11-12 – п. 4. Числовые характеристики случайных величин.
−Задание 13 – п. 8. Предельные теоремы теории вероятностей.
−Задание 14 – п. 6. Системы случайных величин.
2
Часть I. Теория вероятностей
Вариант № 00
1.В урне имеется 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из урны наугад выни- мается два шара. Сколькими различными способами это можно сделать? Сколько существует способов вынуть при этом два черных шара; два шара разного цвета?
2.На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на удачу вынутых по одной
ирасположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «СПОРТ».
3.Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделе- ния. Вероятность своевременной доставки газет в каждое из почтовых от- делений равна 0,9. Найти вероятность того, что а) только одно почтовое отделение получит газеты вовремя, б) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [-1;1]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,5, для второй – 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена первой перфораторщицей.
6.На склад магазина поступают изделия, из которых 80% оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 взятых наудачу изде- лий не менее 85 окажется высшего сорта.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,3. Куплено 10 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответ- ствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,6. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,933 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,01?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,02. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найти закон распределения числа патронов, оставшихся неизрасходованными. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3
11. Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
ì0, |
x < 0 |
ï |
0 £ x < π / 4 |
f (x) = íC cos2x, |
|
ï |
x ³ π /4. |
î0, |
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-π/3;π/6). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
-4 |
-3 |
-2 |
1 |
Р |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
У |
1 |
3 |
5 |
Р |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,004 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,2.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
х |
у |
1 |
2 |
3 |
|
||||
5 |
|
0,01 |
0,01 |
0,01 |
6 |
|
0,4 |
0,04 |
0,02 |
7 |
|
0,02 |
0,3 |
0,02 |
8 |
|
0,01 |
0,02 |
0,14 |
4
Вариант № 01
1.В команду КВН института нужно представить двух участников от группы – одну девушку и одного юношу. Сколькими различными способами это можно сделать, если в группе из 26 человек 12 девушек?
2.В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Всего в урне 30 би- летов. Каждый подошедший к урне наудачу вынимает 4 билета. Какова вероятность того, что 2 из этих билетов окажутся выигрышным?
3.Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Веро- ятности попадания мяча в корзину для первого, второго и третьего баскет- болистов соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что удачно произвел бросок только один из них.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [-1;0]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.Некоторое изделие может поступать для обработки в случайном по- рядке на один из трех автоматов с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5. При обра- ботке на первом автомате вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05. Найти вероятность того, что поступившее после обра- ботки в цех изделие окажется без брака.
6.Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт равна 3/4. Какова вероятность того, что лишь в один из дней шестидневной рабочей недели база уложится в норму рас- ходов на транспорт.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на один билет равна 0,8. Куплено 14 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую ему вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,996 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,3?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,03. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 9 сбоев.
10.В двух урнах находится по 5 пронумерованных шаров. В первой ур- не 2 шара имеют номер 1, три шара – номер 2. Во второй урне три шара имеют номер 1, два шара – номер 2. Из этих урн берут наугад по одному шару и находят произведение их номеров. Получившееся число есть слу- чайная величина. Найти математическое ожидание и дисперсию этой слу- чайной величины.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
5
ì0, |
|
|
|
|
x £ -2 |
|
ï |
C |
1 |
|
|
||
f (x) = íï |
|
, - 2 < x £ 2 |
||||
|
|
|
|
|
||
ïπ |
|
|
4 - x2 |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
x > 2. |
î0, |
|
|
|
|
||
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал(-1;1). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
Р |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|
|
У |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
Р |
0,1 |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
|
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,009 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,2.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
у |
1 |
2 |
3 |
х |
|||
4 |
0,5 |
0,04 |
0,01 |
6 |
0,03 |
0,04 |
0,01 |
8 |
0,01 |
0,03 |
0,02 |
|
|
|
|
10 |
0,01 |
0,03 |
0,27 |
|
|
|
|
6
Вариант № 02
1. В группе во втором семестре десять предметов и три пары различ- ных занятий в день. Сколькими способами можно составить расписание занятий для группы на один день?
2. Для производственной практики на 10 студентов предоставлено 4 мест в Минске, 3 – в Гомеле, 3 – в Витебске. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?
3.Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по зайцу. Заяц будет подстрелен, если попал хотя бы один из охотников. Ка- кова вероятность того, что заяц подстрелен, если вероятность попадания первым охотником равна 0,8, вторым – 0,7?
4.Наудачу взяты 2 положительных числа Х и У, каждое их них не пре- вышает четырех. Найти вероятность того, что произведение ХУ будет не больше четырех, а частное У/Х не больше двух.
5.В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, трое подго- товлены отлично, четверо – хорошо, двое – посредственно, один – плохо.
Вэкзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовлен- ный студент может ответить на 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 15 вопросов, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад сту- дент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично, б) плохо.
6.Фабрика выпускает 75% продукции первого сорта. Чему равна веро- ятность того, что из 300 деталей число первосортных заключено между
219 и 234?
7.Вероятность выигрыша в лотерее на один билет равна 0,7. Куплено 14 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую ему вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,05. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9426 от- клонение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолют- ной величине не превзошло 0,03?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,008. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 9 сбоев.
10.В урне шесть белых и четыре черных шара. Из урны наугад извле- кают шар пять раз подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Приняв за случайную величину число из- влеченных белых шаров, составить закон распределения этой случайной величины, найти её математическое ожидание и дисперсию.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
7
f (x) = 1+Cx2 , -∞ < x < ∞ .
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0;5). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
3 |
7 |
9 |
11 |
|
|
|
|
|
Р |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
У |
0,1 |
0,03 |
0,5 |
|
|
|
|
Р |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,035 отклонится от своего математиче- ского ожидания менее, чем на 0,2.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
у |
1 |
2 |
3 |
х |
|||
0,1 |
0,3 |
0,01 |
0,01 |
|
|
|
|
2,9 |
0,08 |
0,08 |
0,02 |
|
|
|
|
3,8 |
0,04 |
0,3 |
0,05 |
|
|
|
|
7,1 |
0,01 |
0,02 |
0,08 |
|
|
|
|
8
Вариант № 03
1.Некто имеет восемь пар перчаток. Сколькими способами он может выбрать одну перчатку для правой руки и одну для левой так, чтобы они не принадлежали одной паре?
2.В ящике имеется 15 годных и 5 бракованных деталей. Найти вероят- ность того, что среди трех наугад вынутых из ящика деталей будут две бракованные.
3.Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно
25.Найти вероятность того, что первые два дня июля будут ясными.
4.У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны нау- дачу из отрезка [-2;1]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?
5.Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем типа Б и двум типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа Б – 0,1, типа С – 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет сделан.
6.В цехе имеется пять моторов. Вероятность быть включенным в дан- ный момент для каждого из них равна 0,8. Найти вероятность того, что из них в данный момент включены: а) четыре мотора; б) не менее двух мото- ров; в) хотя бы один мотор.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,3. Куплено
12билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,6. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9642 от- клонение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолют- ной величине не превзошло 0,03?
9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,005. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 7 сбоев.
10.Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется пять не действующих. Из этой партии наугад взято четыре аппарата. Составить закон распределения числа не действующих из них аппаратов. Найти ма- тематическое ожидание, дисперсию этой случайной величины.
11.Случайная величина Х задана своей плотностью распределения:
ì0, |
|
x < 0 |
||
ï |
2Cx |
|
|
|
f (x) = íï |
, |
0 £ x < 9 |
||
|
||||
ï 81 |
|
x ³ 9. |
||
ï0, |
|
|||
î |
|
|
|
|
9
Найти параметр С, функцию распределения случайной величины F(х), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (2;7). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
2,3 |
2,5 |
2,7 |
2,9 |
|
|
|
|
|
Р |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
У |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
Составьте законы распределения случайных величин Х+У и Х-У и най- дите их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,0162 отклонится от своего математи- ческого ожидания менее, чем на 0,14.
14.Двумерная дискретная случайная величина (Х,У) задана таблицей. Найти ее ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зави- симости случайных величин Х и У.
х |
у |
1 |
2 |
3 |
|
||||
1,5 |
|
0,03 |
0,02 |
0,02 |
2,9 |
|
0,06 |
0,13 |
0,03 |
4,1 |
|
0,4 |
0,04 |
0,02 |
5,6 |
|
0,15 |
0,06 |
0,04 |
|
|
|
|
|
10