Varianty_IDZ_po_TViMS_Grafov_2012
.pdfВариант № 19
1.Имеется восемь различных книг. Сколькими способами можно разо- слать их по одной каждому из восьми различных адресатов? Сколько име- ется способов разделить книги на две пачки по четыре книги в каждой?
2.На каждой из восьми одинаковых карточек написаны числа: 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Карточки тщательно перемешаны. Наудачу берутся карточки. Найти вероятность того, что образованная из двух выбранных чисел дробь сократима.
3.Вероятность попадания в цель при залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из ору- дий, если известно, что для второго эта вероятность равна 0,8.
4.Наудачу взяты 2 положительных числа Х и У, каждое их них не пре- вышает единицы. Найти вероятность того, что сумма Х+У не превышает единицы, а произведение ХУ не меньше 0,4.
5.В первом ящике находится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30, из них 24 стандартных, в третьем – 10, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взя- того ящика стандартная.
6.Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла складываются в коробки по 100 штук. Определить вероят- ность того, что а) в коробке не окажется бракованных сверл, б) число бра- кованных сверл не превысит двух.
7.Вероятность выигрыша в лотерее на 1 билет равна 0,6. Куплено 11 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соот- ветствующую вероятность.
8.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,98 откло-
нение относительной частоты попадания от вероятности р по абсолютной величине не превзошло 0,02?
9.Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызо- ве равна 0,011. Определить вероятность того, что среди 1000 поступивших вызовов имеется 8 сбоев.
10.Стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку на- считывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков
инайти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
11.Случайная величина Х задана плотностью распределения:
41
ì0, |
x £ -π / 2 |
f (x) = íïс ×cos2x, |
-π / 2 < x £ π / 2 |
ï0, |
x > π / 2. |
î |
|
Найти параметр с, функцию распределения F(x) случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, вероятность попадания этой случайной величины в интервал (π / 4;π ). Построить графики функций f(x), F(x).
12. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими зако- нами:
Х |
2,3 |
2,5 |
2,7 |
2,9 |
|
|
|
|
|
Р |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
У |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
Укажите законы распределения случайной величины Х+У, Х-У и найди- те их математическое ожидание и дисперсию.
13.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина с дисперсией 0,0162 отклонится от математического ожидания менее, чем на 0,2.
14.Двумерная случайная величина (Х, У) задана таблицей. Найдите её ковариацию, коэффициент корреляции и сделать вывод о зависимости случайных величин Х и У.
у |
х |
1 |
2 |
3 |
|
1,5 0,03 0,02 0,02
2,9 0,06 0,13 0,03
4,1 0,4 0,07 0,02
5,6 0,15 0,06 0,01
42
Часть II. Математическая статистика
Дана выборка значений некоторой случайной величины X с нормальным распределением (столбец из n = 20 чисел).
1.Построить вариационный ряд, отсортировав выборку по возраста- нию.
2.Построить статистический ряд, разбив отрезок [xmin ; xmax ] на 5 равных частей. Найти относительные частоты. Построить гистограмму.
3.Найти числовые характеристики выборки:
x =
Dx s2
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
åxi ; x2 = |
åxi2 ; |
|||||
|
|
|||||
n i=1 |
n i=1 |
|||||
=x2 − x ; σ x = 
Dx ;
=nn−1 Dx ; s = 
s2
4.Для уровня надежности γ = 0,95 построить доверительные интерва- лы для a = M (X ) , σ 2 = D(X ) и σ = σ ( X ).
|
00 |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
1 |
22.0 |
16.0 |
14.7 |
20.3 |
22.8 |
22.2 |
19.6 |
17.7 |
21.9 |
16.0 |
2 |
18.7 |
13.2 |
11.2 |
16.6 |
18.9 |
18.6 |
15.2 |
14.4 |
18.7 |
11.7 |
3 |
10.4 |
4.8 |
3.9 |
8.3 |
10.1 |
10.5 |
8.9 |
7.9 |
7.9 |
5.5 |
4 |
17.7 |
13.1 |
11.9 |
16.6 |
18.6 |
17.7 |
16.2 |
11.5 |
16.9 |
16.4 |
5 |
21.5 |
16.7 |
14.5 |
18.3 |
21.1 |
21.7 |
18.5 |
17.9 |
21.6 |
17.6 |
6 |
15.4 |
11.5 |
10.2 |
14.4 |
16.0 |
16.5 |
13.6 |
14.5 |
15.6 |
11.2 |
7 |
23.3 |
17.9 |
15.8 |
20.5 |
23.5 |
23.5 |
20.3 |
19.4 |
22.9 |
18.5 |
8 |
19.6 |
15.0 |
13.2 |
18.8 |
18.4 |
18.9 |
15.7 |
15.0 |
17.2 |
14.6 |
9 |
16.5 |
9.5 |
9.5 |
14.7 |
14.7 |
16.4 |
13.7 |
12.9 |
13.1 |
10.7 |
10 |
15.5 |
13.5 |
11.2 |
14.5 |
17.2 |
15.9 |
14.4 |
10.7 |
16.3 |
14.5 |
11 |
17.8 |
12.5 |
10.5 |
15.2 |
17.7 |
17.6 |
15.6 |
14.2 |
16.2 |
11.9 |
12 |
19.2 |
13.6 |
12.2 |
16.0 |
17.6 |
18.9 |
15.6 |
14.8 |
18.9 |
14.5 |
13 |
21.8 |
18.0 |
16.7 |
20.6 |
23.6 |
22.8 |
20.5 |
17.6 |
22.4 |
18.8 |
14 |
17.6 |
12.9 |
11.1 |
15.1 |
17.0 |
17.4 |
14.8 |
13.7 |
17.4 |
13.3 |
15 |
16.4 |
11.9 |
10.1 |
15.3 |
15.6 |
16.1 |
13.3 |
11.2 |
14.4 |
12.6 |
16 |
19.8 |
16.2 |
12.9 |
16.5 |
21.5 |
20.5 |
18.4 |
17.2 |
20.6 |
16.3 |
17 |
16.5 |
11.7 |
10.6 |
15.3 |
15.6 |
15.7 |
13.6 |
11.6 |
15.0 |
11.5 |
18 |
19.0 |
15.2 |
13.8 |
17.6 |
19.6 |
18.5 |
17.4 |
15.3 |
19.2 |
15.0 |
19 |
14.5 |
9.5 |
6.2 |
11.5 |
13.4 |
14.0 |
10.8 |
9.9 |
11.8 |
8.4 |
20 |
18.1 |
13.1 |
9.9 |
15.8 |
18.7 |
18.0 |
15.9 |
14.0 |
15.8 |
12.2 |
43
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
19.9 |
13.9 |
11.7 |
17.4 |
19.4 |
19.8 |
16.5 |
15.5 |
18.6 |
14.1 |
2 |
19.5 |
13.3 |
12.5 |
16.8 |
19.5 |
20.5 |
17.1 |
16.0 |
19.3 |
15.8 |
3 |
14.7 |
8.4 |
7.3 |
11.9 |
12.8 |
13.5 |
12.0 |
9.7 |
11.9 |
9.7 |
4 |
18.5 |
15.1 |
9.3 |
13.1 |
18.1 |
18.0 |
15.0 |
15.0 |
17.6 |
13.9 |
5 |
17.2 |
12.4 |
9.5 |
14.4 |
16.9 |
17.0 |
14.2 |
13.1 |
15.7 |
12.5 |
6 |
18.6 |
13.3 |
10.9 |
14.8 |
19.1 |
18.6 |
16.8 |
15.0 |
17.8 |
13.8 |
7 |
21.2 |
16.3 |
15.4 |
20.5 |
23.6 |
21.9 |
20.3 |
16.9 |
21.2 |
17.4 |
8 |
15.7 |
10.1 |
11.5 |
16.4 |
17.5 |
16.5 |
15.8 |
12.1 |
14.0 |
11.4 |
9 |
16.9 |
12.2 |
9.0 |
15.1 |
17.1 |
16.6 |
13.5 |
13.3 |
15.9 |
10.8 |
10 |
17.5 |
14.4 |
8.6 |
12.9 |
18.4 |
16.8 |
15.1 |
13.3 |
17.6 |
13.7 |
11 |
19.4 |
15.2 |
11.4 |
15.8 |
17.8 |
18.2 |
14.8 |
13.6 |
18.1 |
14.6 |
12 |
18.4 |
13.3 |
12.2 |
16.5 |
18.0 |
18.1 |
16.0 |
13.3 |
17.0 |
13.8 |
13 |
19.5 |
13.8 |
11.8 |
16.9 |
19.3 |
18.9 |
17.0 |
12.4 |
17.5 |
16.4 |
14 |
14.4 |
10.9 |
8.8 |
13.9 |
14.6 |
14.4 |
11.9 |
10.8 |
12.8 |
10.4 |
15 |
20.0 |
15.7 |
11.4 |
16.1 |
20.0 |
19.6 |
16.5 |
14.4 |
18.8 |
15.4 |
16 |
16.3 |
12.9 |
10.2 |
14.3 |
16.7 |
16.3 |
14.2 |
12.8 |
15.3 |
12.7 |
17 |
21.4 |
17.9 |
14.4 |
18.5 |
23.1 |
21.7 |
19.2 |
17.5 |
22.3 |
16.6 |
18 |
18.6 |
14.4 |
11.1 |
15.9 |
19.0 |
18.6 |
15.8 |
14.9 |
17.4 |
13.7 |
19 |
22.5 |
18.4 |
17.7 |
20.9 |
22.9 |
22.7 |
21.0 |
19.4 |
22.1 |
18.5 |
20 |
19.9 |
14.0 |
11.1 |
15.6 |
20.4 |
20.1 |
17.7 |
15.4 |
19.6 |
15.0 |
44
Экзаменационные вопросы
1.Комбинаторика. Теоремы сложения и умножения. Комбинаторные вели- чины: число перестановок, размещений и сочетаний.
2.Предмет теории вероятностей. Достоверные события, невозможные, случайные, равновозможные, полная группа событий.
3.Аксиоматическое и классическое определение вероятности, основные свойства вероятностей.
4.Частота. Относительная частота. Статистическое определение вероят- ностей. Геометрическое определение вероятностей.
5.Совместные и несовместные события. Сумма событий. Теорема сложе- ния вероятностей для несовместных событий. Следствие для полной группы событий. Теорема сложения вероятностей для совместных со- бытий.
6.Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и неза- висимых событий.
7.Противоположные события. Вероятность появления хотя бы одного со- бытия. Следствие.
8.Формула полной вероятности.
9.Формула Бейеса.
10.Повторные независимые испытания по схеме Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события в повторных не- зависимых испытаниях.
11.Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция ϕ(t) , ее свойства.
12.Интегральная теорема Лапласа. Функция Лапласа, ее свойства.
13.Формула Пуассона.
14.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной веро- ятности для независимых событий.
15.Случайная величина. Дискретные случайные величины, закон распре- деления. Распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, гипергео- метрическое распределение.
16.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойст- ва, вероятностный смысл.
17.Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства. Среднее квад- ратическое отклонение.
18.Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона, распределения Бернулли, геометрического распределения, гипергео- метрического распределения.
19.Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин. Числовые характеристики среднего арифметиче- ского одинаково распределенных взаимно независимых случайных ве-
45
личин. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распре- деления.
20.Закон больших чисел. Неравенства Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли и устойчивость относительных частот. Понятие о пределе по вероятности.
21.Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свой- ства и график. Определение непрерывной случайной величины.
22.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной ве- личины, ее свойства и вероятностный смысл.
23.Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных ве- личин.
24.Закон равномерного распределения. Числовые характеристики рав- номерного распределения. Вероятность попадания случайной величи- ны в заданный интервал.
25.Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние парамет- ров распределения на форму нормальной кривой. Числовые характери- стики нормального распределения.
26.Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм.
27.Показательное распределение. Числовые характеристики показатель- ного распределения. Вероятность попадания случайной величины в за- данный интервал.
28.Начальные и центральные теоретические моменты. Оценка отклоне- ния теоретического распределения от нормального. Асимметрия и экс- цесс.
29.Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математи- ческое ожидание функции одного случайного аргумента.
30.Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы незави- симых слагаемых. Устойчивость нормального распределения.
31.Понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределе- ния вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
32.Функция распределения вероятностей двумерной случайной величи- ны, ее свойства.
33.Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины, ее свойства. Вероятностный смысл функции плотности двумерной слу- чайной величины.
34.Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и в прямоугольник. Нахождение функции распределения по известной функции плотности вероятностей двумерной случайной величины.
35.Отыскание составляющих функции плотности двумерной случайной величины. Условные законы распределения составляющих системы
46
дискретных случайных величин. Условные законы распределения со- ставляющих системы непрерывных случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины.
36.Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреля- ционный момент. Коэффициент корреляции и его свойства. Коррелиро- ванность и зависимость случайных величин. Нормальный закон рас- пределения на плоскости.
37.Линейная регрессия. Прямые линии среденеквадратической регрес- сии Y на X и X на Y.
38.Случайные процессы. Марковские процессы и их основные свойства. Поток событий Пуассона и его свойства.
39.Система уравнений Колмогорова. Предельные вероятности.
40.Математическая статистика и ее задачи. Основные понятия математи- ческой статистики.
41.Статистические распределения выборок. Эмпирическая функция рас- пределения и ее свойства. Полигон и гистограмма статистических рас- пределений.
42.Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности (генеральных средней, дисперсии и среднего квадратического отклоне- ния).
43.Интервальные статистические оценки, надежность оценки. Определе- ние доверительного интервала. Построение доверительного интервала для генеральной средней и среднего квадратического отклонения нор- мально распределенного признака генеральной совокупности.
44.Определение статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Ошибка первого и второго рода. Статисти- ческий критерий. Наблюдаемое значение статистического критерия. Критическая область, область принятия нулевой гипотезы, критическая точка.
45.Проверка статистической гипотезы о равенстве двух генеральных средних для нормальных распределений.
46.Проверка статистической гипотезы о равенстве двух дисперсий для нормальных распределений.
47.Проверка гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности. Критерии согласия Пирсона.
47
ЛИТЕРАТУРА
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.– М.: Высшая школа, 1998, 2001.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей.– М.: Высшая школа, 1964.
4.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упраж- нения).– М.: Высшая школа, 1969.
5.Гнеденко Б.В.Курс теории вероятностей. 6-е изд.–М.: Наука, 1988
6.Чистяков В.П.Курс теории вероятностей. 3-е изд.–М.: Наука, 1987
7.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова.– М: Инфра-М, 2003.
8.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математиче-ские методы в экономике. – М.: Дело и сервис, 1999.
9.Новорожкина Л.И., Морозов З.А. Основы статистики с элемен-тами теории вероятностей.– Ростов-на-Дону: Феникс, 1999.
10.Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей.– М.: Наука, 1970.
48