Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)

a x a x a x b ,

11x

12 x

13 x

1,

a

a

a

b

11

1

12

2

13

3

1

1

2

3

a2 2 x2

a23 x3

b2 , можна звести

a22 x

a23 x b2 , де

a21x1

2

3

a31x1

a32 x2 a33 x3 b3 ,

a33 x b3 ,

3

до трапецієподібного

a21 ... ,

a31

... , à32 ...

(чи трикутного) вигляду

11x

12 x

13 x

1,

a

a

a

b

1

2

3

a22 x2 a23 x3

b2 ,

отже,

і

у звортньому ході методу Гауса

a33 x3 b3 ,

спочатку з останнього рівняння

початкова система

x3 ..., після цього з

a12 x2

a13 x3

b1,

попереднього рівняння x2 ...;

a11x1

a21x1 a2 2 x2

a23 x3 b2 ,

піднімаючись по системі від

a

x a

x

a

x

b ,

останнього рівняння до першого

31

1

32

2

33

3

3

x1 ...

має єдиний розв’язок, який

визначимо так:

Елементарні

перетворення

рівнянь

системи

a12 x2

a13 x3 b1,

a11x1

a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 ,

a x a x a x b ,

31

1

32

2

33

3

3

розширеної матриці

рівносильні перетворенню рядків

B

Критерій сумісності СЛАР

У заданій систему вигляду

a11 x1

a12 x2 ... a1n xn

b1 ,

a2 2 x2

... a2 n xn

b2 ,

a21 x1

...............................................,

a

x

a

x

... a

x

b

,

позначаються відповідно … ,

m1 1

m 2

2

m n

n

m

ранги головної і розширеної матриць

…

Для того, щоб СЛАР була сумісною,

необхідно і достатньо, щоб

r(A)… r(B)

, де r(A) – ранг

головної матриці A ,

r(B) –

ранг розширеної матриці В

Якщо ранг головної матриці дорівнює

рангу розширеної

матриці і

дорівнює

кількості невідомих, то система має

…

Якщо ранг головної матриці дорівнює

рангу розширеної матриці, але менший

від кількості невідомих,

…

то система має

Якщо r B r A

для системи, то

вона

…

Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Однорідна система вигляду

a11 x1

a12 x2 ... a1n xn b1 ,

a2 2 x2

... a2 n xn

b2

a21 x1

,

...............................................,

a

x

a

m 2

x

2

... a

m n

x

n

b

,

m1 1

m

завжди сумісна та має розв’язок

x1 x2 ... xn …

Для того, щоб система однорідних

рівнянь мала ненульові розв’язки,

необхідно й достатньо, щоб

ранг її головної матриці був

…

за кількістю

невідомих, тобто r A

... n

Перевіряємо готовність до

практичного заняття

2x y 3z 4,

є :

3.1. Розв’язком системи рівнянь x 2 y z 3,

4x 5 y z 2;

А

Б

В

Г

Д

(7; 3;5)

(1;0;2)

(1;0; 2)

( 1;0;2)

(1;1; 1)

А

Б

В

Г

Д

x y 2z 0,

z 4x y,

x y z 2,

2x y z 1,

x y 2 0,

7

0,

4 y 4,

3x 6z

5x z 0,

2x 5t z,

x

2x 5 z,

7z

5.

z 0.

2x 5 y z 0.

7 y x 5z.

x

y z 9.

x

x 2z y 0,

3.3. Головна матриця системи 3x 6z 7 0, має вигляд:

0

2x 5 y z

А

Б

В

Г

Д

1 1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

3

6

7

3 0

6

3

0

6

3

6

0

3

6

0

2 5

1

2

5

2

5

1

2

5

2

5

1

1

1

x 2z y 0,

3.4. Розширена матриця системи

0,

має вигляд:

3x 6z 7

2x 5 y z 0

А

Б

В

Г

Д

1 1

2

0

1 2

1

0

1

2

1

0

1

1

2

0

1

1 2

0

3 0

6

7

3 6

7

0

3

0

6

0

3

0

6

7

3

0 6

7

2 5

1

0

2 5

1

0

2

5

1

0

2

5

1

0

2

5 1

0

2x 3y z 1,

3.5. Систему лінійних рівнянь

4 y

3z 4,

можна записати у вигляді

x

7x z 9 0.

наступного матричного рівняння:

2

3

1 x

1

А

1

4

3

y

4

7 1

0

9 z

x 2

3

1

1

Б

y

1

4 3

4

7

0 1

9

z

2 3

1 x

1

В

1 4

3

y

4

7 0

1

9

z

2

3

1 x

1

Г

1

4

3

y

4

7 0

1

9

z

Д

x 2

3

1

1

y

1

4 3

4

7

0 1

9

z

А

Б

В

Г

Д

система

система має

система має

система має

система має

несумісна

єдиний

три розв’язки

безліч

два розв’язки

розв’язок

розв’язків

СЛАР несумісна,

якщо 0 , а принаймні один із визначників x , y , z не

дорівнює

нулю;

СЛАР

має

безліч

розв’язків

чи не має жодного, якщо

x y

z 0 ; СЛАР має єдиний розв’язок, якщо 0 .

3.7. Для деякої СЛАР 0, x

12, y

6, z 0 . Можна стверджувати, що:

А

Б

В

Г

Д

система

система має

система має

система має

система або

несумісна

єдиний

три розв’язки

безліч

має безліч

розв’язок

розв’язків

розв’язків,

або

несумісна

Дивись підказку до попередньої вправи 3.6.

3.8. Для деякої СЛАР 0, x 0, y

0, z 0. Можна стверджувати, що:

А

Б

В

Г

Д

система

система має

система має

система має

система або

несумісна

єдиний

три розв’язки

безліч

має безліч

розв’язок

розв’язків

розв’язків,

або

несумісна

А

Б

В

Г

Д

множення

почленне

переставляння

почленне

додавання до

рядка на

додавання

місцями двох

множення

рядка

ненульовий

двох

рядків

двох

іншого,

множник

рядків

рядків

помноженого

на будь-яке

число

Відомо, що

r( A) 2 i r( A) 3. У цьому випадку:

А

Б

В

Г

Д

СЛАР

СЛАР має

СЛАР має

система або має

інша

несумісна

єдиний

безліч

безліч розв’язків,

відповідь

розв’язок

розв’язків

або несумісна

А

Б

В

Г

Д

СЛАР

СЛАР має

СЛАР має

система або

інша

несумісна

єдиний

безліч

має безліч

відповідь

розв’язок

розв’язків

розв’язків,

або

несумісна

А=

Х=

В=

помножити на A 1

зліва та скористатись тим, що A 1 A E .

Крок 3. Знайдіть матрицю A 1 .

2

3

4

det( A)

1

1

2

8

3

6

A11

A12

A13

A21 =

A22 =

A23 =

A31 =

A32 =

A33 =

0

3

1

A

1

1

10

0

5

5

5

4

2

Скористайтесь формулою для знаходження матриці, оберненої до А:

A11

A21

A31

A 1

1

A

A A

,

det( A)

12

22

32

A13

A23

A33

0

3

1

4

1

1

X A

B

10

0

5

4

=

5

5

4

2

7

4x 2 y 3z 4,

за формулами Крамера.

3.13. Розв’яжіть систему x y 2z 4,

8x 3y 6z 7.

2

3

4

1

1

2

8

3

6

4

2

3

x

4

1

2

7

3

6

4

3

4

y

1

4

2

8

7

6

2

4

4

z

1

1

4

8

3

7

Застосуйте

для

обчислення

визначників

схему

правила

трикутників:

Крок 3. Eраховуючи, що 0 , а

x 6 0, зробіть висновок про

розв’язки системи.

1

2

1

де

1

1

1

– головна матриця системи. Обчисліть ранг матриць А і

A

2

1

0

1

2

A . Для цього обчисліть мінор другого порядку

матриці А.

1

1

2

1

1

1

Отже, r( A)

r( A)