Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)

Складіть

матрицю С із

алгебраїчних доповнень

Aij ,

причому

алгебраїчні доповнення

рядків записуємо у

стовпці

(транспонування матриці).

A11

A21

A31

C A

A

A

12

22

32

A13

A23

A33

Добутком матриці (E A) 1

розміру 3 3 на

матрицю Y

розміру 3 1 є

матриця Х (E A) 1 Y розміру 3 1, у якої елемент x

ij

є сумою добутків елементів i

-го рядка матриці (E A) 1

на відповідні

елементи

j -го стовпця

матриці Y .

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть матрицю обернену до матриці А та виконайте перевірку:

2

1

1

1

1

1

2

1

3 2

A

3

2

.

A 1

2 3

.

A

4

.

3 6

5

4

1

1

Обчислюючи A 1 A

та

A A 1

під час

перевірки,

множ-

ник

1

краще

det( A)

залишити перед матрицею.

2.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Розв’яжіть матричне рівняння:

AX B , де

2

1

4

1

3

2 11

2

1

1

4

A

1

0 1

,

X

2

2

3 4

X 11

1 3

0

2

2

6

3

2

4

6

2 0

11

B

2

1

1

1

2

0

Розбийте задачу на підзадачі: 1) знайдіть матрицю, обернену до матриці, що

є першим множником у рівнянні; 2) помножте обидві частини рівняння на

знайдену матрицю зліва.

2.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть ранг матриці:

1 1

1 3

1

3 1

2

3 4

1

5 2

1

1

1 5

2

3 4

1 2

2

2

3 5

3 1

1

10 6 1

2

1

1 2 3

1 1

3

2 2 7

3

7

4 1 7

0

11

5

4

4

Перший

рядок

Додаючи

перший

За допомогою

матриці,

помно-

рядок, помножений

елементарних

жений на (-1),

на відповідні

числа,

перетворень

додайте до другого

до

інших

рядків,

отримайте

та третього

перетворіть матрицю так, щоб

чотири нулі в першому

усі елементи першого стовпця,

стовпці.

крім a11 , дорівнювали нулю.

2.28.

ІІ рівень

ІІІ рівень

Підприємство

випускає

Підприємство

виробляє

продукцію двох типів (А і В) та

продукцію

трьох

видів

і

використовує

сировину двох типів

використовує

сировину двох типів.

(І і ІІ). Норми затрат

сировини

Норми витрат на одиницю продукції

подано в таблиці:

кожного виду продукції задано за

І

ІІ

допомогою матриці:

А

2

3

2

1

В

5

20

A

1

3

. Вартість одиниці сиро-

Знайти загальні затрати сировини на

3

4

виробництво 100 одиниць продукції

вини

кожного типу задає матриця

А та 60 одиниць продукції В.

B 10

15 .

Знайдіть

загальні

витрати підприємства на вироб-

ництво

100

одиниць

продукції

першого

виду,

200

одиниць

продукції другого виду та 150

одиниць продукції третього виду.

План виробництва

подайте

у

Спочатку

знайдіть

матрицю

вигляді

матриці

C 100;60 ,

а

вартості

S

витрат

на

одиницю

норми витрат сировини у вигляді

продукції (S =АВ),

а

потім

загальну

вартість

витрат

під-

2

3

приємства (СS, де С =(100;200;150) – план

матриці

A

. Загальні

5

20

виробництва)

затрати сировини визначаються як СА.

Учимося застосовувати CAS для виконання

операцій над матрицями

10

15

0

0

2

15

M

0

0

20

0

,

A 210

20

та знайдіть їх добуток для

10

100

0

0

0

100

5

50

I I

I

,

I I

I

0,

1

2

3

1

2

3

I1r1 I2r2 E1 E2 ,

I11 0,5 I2 0,3,

I r I

R E ;

I 0,6 I

3

1,6.

1 1

3

1

1

Складаємо опорний конспект

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Систему m рівнянь з n невідомими

вигляду

Отже, система 3-ох рівнянь з 3-ма

a11 x1

a12 x2 ... a1n xn b1 ,

невідомими має вигляд

a2 2 x2

... a2 n xn

b2

a21 x1

,

...............................................,

a

x

a

x

... a

x

b

,

m1 1

m 2

2

m n

n

m

називають

системою

лінійних

алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Рівняння СЛАР містять невідомі,

Тут x1 , x2, …, xn –

…

;

коефіцієнти при невідомих та вільні

aij –

…

(i=1, 2, …, m,

члени. Зазначте, які символи їм

j=1, 2, …, n); b1,b2, …, bn –

відповідають

…

системи

Розв’язати систем рівнянь з n

невідомими, означає знайти такі

значення невідомих x x0 ,

x

2

x0 , …,

1

1

2

у систему всі її рівняння

0

xn xn , при підстановці яких

…

СЛАР називають однорідною, якщо всі

Отже, однорідна система 3-ох

вільні члени дорівнюють нулю

рівнянь із 3-ма невідомими має

вигляд

СЛАР називають неоднорідною, якщо

Отже, неоднорідна система 3-ох

хоч один з вільних членів не дорівнює

рівнянь із 3-ма невідомими має

нулю

вигляд

Однорідна система

a11 x1

a12 x2

... a1n xn b1 ,

a2 2 x2

... a2 n xn

b2 ,

a21 x1

...............................................,

a

x

a

m 2

x

2

... a

m n

x

n

b

,

m1 1

m

завжди має тривіальний розв’язок

x1 x2 ... xn

…

Систему рівнянь називають сумісною,

якщо вона має хоча б

…

Систему рівнянь називають несумісною,

якщо вона не має

…

Сумісну систему називають визначеною,

якщо вона має

…

Сумісну

систему

називають

невизначеною, якщо вона має

…

Головною матрицею системи

a x a

x

2

a x

3

b ,

11

1

12

13

1

матрицю

a21 x1 a2 2 x2

a2 3 x3

b2 , називають

a

x a

3 2

x

2

a

3 3

x

3

b ,

31 1

3

A