Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)
.pdf
|
|
|
|
|
|
Скалярний квадрат |
вектора дорівнює квадрату його модуля, тобто |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos , де - кут |
|||||||||||||
Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою: |
a b |
a |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
між векторами a і b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 4 ; 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Відповідь: |
a |
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.11. Дано вершини трикутника АВС: A(2;2; 4) , |
B(2; 1; 1), C(3; 1; 2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть зовнішній кут трикутника при вершині В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Крок 1. Побудуйте |
ABC та його зовнішній кут при вершині В. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Зовнішнім кутом трикутника АВС при вершині А називають кут суміжний з внутрішнім кутом А цього трикутника.
Крок 2. Спочатку необхідно знайти внутрішній ABC . Це кут, який утворюють вектори BA і BC . Знайдіть координати цих векторів.
BA
BC
Крок 3. Знайдіть скалярний добуток BA BC , BA і BC .
BA BC
BA
BC
103
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, |
||||||||
які задано |
своїми координатами: якщо, |
|
ax ; ay ; az , |
|
bx ; by ; bz |
то |
||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a b ax bx ay by az bz . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скористайтесь |
|
формулою для знаходження |
модуля вектора |
|
ax ; ay ; az : |
|||||||||||
|
a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
a2 |
a2 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 4. Знайдіть ABC – кут між векторами BA і BC .
cos ABC
Звідси ABC arccos 12
Виразіть косинус кута між векторами з формули для скаляного добутку векторів: a b a b cos , де - кут між векторами a і b .
Крок 5. Знайдіть кут , що є суміжним з ABC .
Відповідь: 120 .
5.12. При якому значенні m вектори a mi 4 j 2k і b mi 2 j mk є перпендикулярними?
Хід розв’язання.
Крок 1. Запишіть координати векторів a і b .
a b
Скористайтесь тим, що векторну рівність a ax i ay j az k у символічній формі записують так a ax ; ay ; az .
104
Крок 2. Запишіть умову перпендикулярності ненульвих векторів.
Скористайтесь ознакою перпендикулярності векторів: ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Крок 3. Розпишіть скалярний добуток векторів a і b через їхні координати та розв’яжіть отримане рівняння відносно m .
|
|
|
|
|
|
|
|
ax ; ay ; az , |
|
bx ; by ; bz , то |
|
|
|
ax bx |
ay by az bz . |
|||||
|
|
|
|
|
|
Якщо |
a |
b |
a |
b |
||||||||||
Відповідь: m 4 , m 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.13. Дано вектори |
|
1; 3;4 , |
|
3; 4;2 і |
|
1;1;4 . Обчисліть |
||||||||||||||
a |
b |
c |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
np |
|
|
|
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Хід розв’язання.
Крок 1. Знайдіть вектор a c .
Якщо вектори задано своїми координатами a ax ; ay ; az , b bx ; by ; bz , тоді a b ax bx ; ay by ; az bz .
Крок 2. Знайдіть a c .
Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :
a 
ax2 ay2 az2 .
105
Крок 3. Знайдіть b a c .
Якщо a ax ; ay ; az , b bx ; by ; bz , то a b ax bx ay by az bz .
Крок 4. Знайдіть npa c b .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обчислюється за формулою np |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
. |
|
Проекція вектора a на вектор b |
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Відповідь: |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
5.14. |
Знайдіть |
величину |
роботи |
результуючої |
сил F1 3; |
2; |
1 |
|
F2 2; |
1; 3 , |
F3 4; |
1; |
3 , прикладеної до точки |
А(2; 3; 1) щодо |
|||
точки |
О ( 4; 1; |
2) , та |
на |
який кут |
прикладено результуючу |
силу |
до |
|
вектору шляху.
Хід розв'язання.
Крок 1. Знайдіть координати вектора результуючої сил (суму складових сил):
F F 1 F2 F 3 F ...
Робота результуючої сили дорівнює сумі робіт складових сил. При додаванні векторів їхні відповідні координати додають.
106
Крок 2. Знайдіть координати вектора OA .
Якщо відомі координати початку O xo , yo , zo та кінця A xa , ya , za вектора
OA , то його координати знаходять за формулою OA xa xo , ya yo , za zo .
ОА ...
Крок 3. Обчисліть скалярний добуток A F OA та знайдіть роботу результуючої сили.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax , |
ay , az , |
|
|
Для |
векторів a і b , заданих своїми координатами |
|
a |
||||||||||
|
|
bx , by , |
bz , їх скалярний добуток обчислюється за формулою |
|
|
|
ax |
bx ay by |
az bz . |
||||||
|
b |
a |
b |
||||||||||||
Робота сили дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення
A F OA .
A |
... |
|
од. роботи |
Крок 4. Знайдіть градусну міру кута, на який прикладено результуючу силу до вектору шляху.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax , |
|
|
az , |
|
|
bx , by , |
bz обчислюється |
||||||||||||||
Косинус кута між векторами |
a |
ay , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
за формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax bx ay |
by az bz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
a |
2 a |
2 |
a 2 |
b 2 b |
2 b 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
|
x |
|
|
y |
z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||||
cos ( F ; OA ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(F; OA ) arccos ... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
107
Відповідь: величина роботи результуючої |
сил F1 , F2 , F3 , |
прикладеної до точки А щодо точки О , А 13 |
од. роботи ; кут, на |
який прикладено результуючу сил до вектору шляху, |
(F; OA ) 4502/ . |
Учимося самостійно розв’язувати завдання
5.15.
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обчисліть |
|
|
|
значення |
Обчисліть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значення |
Обчисліть |
|
|
|
|
значення |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виразу: 5 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
, |
виразу: 5 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
, |
виразу: |
5 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
b |
a |
a |
|
b |
b |
a |
a |
b |
b |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; 4;2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
якщо |
|
a |
якщо a i 4 j 3k , |
якщо |
|
|
|
|
|
a 3m n , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5;1; 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2i 3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 5m 2n , |
|
m |
і |
|
|
n |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
j |
j |
k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взаємно |
перпендикуляр- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ні вектори, |
|
|
|
2, |
|
|
3 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спочатку спростіть |
|
|
|
|
Спростіть |
|
цей |
|
ви- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Спочатку спростіть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
цей вираз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раз |
|
|
|
|
|
та |
знайдіть |
|
|
|
|
|
|
|
|
цей вираз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координати |
век- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торів a і |
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть |
|
|
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Знайдіть |
|
|
вектор |
|
|
|
x , |
Знайдіть |
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
|
|
x , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 6;k 2 ; 5 |
|
та |
|
його |
якщо відомо, що його |
якщо відомо, що він |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
модуль, |
|
якщо |
|
|
він |
ордината дорівнює 1 і |
перпендикулярний |
|
|
|
осі |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
він перпендикулярний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярний |
Оz, |
|
x |
|
5 і x a 10 , |
де |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторам |
a |
4;5;2 і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
вектору b 1;4;2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2;1;4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 6; 6;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Складіть |
|
|
|
|
за |
|
|
|
|
Уведіть позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переформулюйте |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
даними |
|
задачі |
|
|
|
|
x {x; 1; z} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
умову |
|
«вектор |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
рівняння. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
складіть |
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярний |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівнянь, |
викорис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
осі |
|
|
|
|
Оz» так: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
товуючи дані задачі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
x |
перпендику- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярний |
|
|
|
|
|
напрямному |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору осі Оz |
|
0;0;1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
5.17.
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть кут між діагона- |
Знайдіть |
|
кут |
|
|
між |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
прямокутному |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лями чотирикутника |
|
медіанами АМ та ВК |
|
паралелепіпеді |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ABCD , якщо A(6;7;8) , |
трикутника АВС, якщо: |
|
|
|
ABCDA1B1C1D1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(8;2;6) , C(4;3;2) , |
|
|
A(2;2; 4) , B(2; 1; 1) , |
|
|
AA1 10 , AD 8, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C(3; 1; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D(2;8;4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 6 , |
|
K |
|
середина |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AA1 , |
M середина DD1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть |
кут |
|
|
між |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямими DK та B1M . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Переформулюйте |
|
|
|
|
|
|
|
Переформулюйте |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уведіть |
|
|
декартову |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
задачу: |
знайдіть |
|
|
|
|
|
задачу: |
знайдіть |
|
|
|
|
|
|
|
|
систему координат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
кут між векторами |
|
|
|
|
|
кут між векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
переформулюйте |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачу: |
знайти кут |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
BD і |
|
AC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
BK і |
AM . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
між векторами DK і |
|
B1M . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть |
|
|
|
проекцію |
Нехай |
|
A(2;2; 4) , |
|
Сила |
|
|
|
1; 2;3 |
|
|
роз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
5;1; 3 |
|
B(2; 1; 1), C(3; 1; 2) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
кладена за трьома нап- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
D(3;1;5) . |
|
|
Знайдіть |
|
рямками, один з яких за- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2;2;1 . |
||||||||||||||||||||||
|
a i 4 j 3k . |
|
|
проекцію |
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
дано вектором |
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD DB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть |
|
складову |
|
сили |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F у напрямку вектора a . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Розбийте |
задачу |
|
|
|
|
|
Розбийте |
задачу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переформулюйте |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
на |
|
|
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|
|
|
на |
|
|
підзадачі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
задачу: |
|
|
|
|
|
знайдіть |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
знайти |
коорди- |
|
|
|
|
|
знайти |
|
коорди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
проекцію |
|
|
|
сили |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
нати |
|
|
a ; |
знайти |
|
|
|
|
|
нати |
|
AB |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на вектор |
|
a . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
зазначену проекцію. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
CD DB ; |
знайти |
зазна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чену проекцію. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть |
|
|
|
|
|
|
роботу |
Знайдіть |
роботу сили |
|
|
Робота рівнодіючої |
сил |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 10H |
|
з |
|
|
|
прямо- |
|
|
|
|
|
|
1;0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сили F 1; 2;3 |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лінійного |
переміщення |
|
|
|
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
прямолінійного |
|
пе- |
|
|
|
F2 1;2;3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
з точки |
|
A(6;7;8) |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
реміщення тіла з точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точку B(8;2;6) , якщо |
|
|
|
F3 1;4;1 |
з |
пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(6;7;8) |
у |
точку |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B(8;2;6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
напрямок |
дії |
сили |
ут- |
|
|
міщення |
тіла вздовж |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ворює з |
|
напрямком |
|
|
вісі Оz дорівнює 7Дж. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переміщення кут . |
|
|
На |
|
|
яку |
|
|
|
відстань |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
змістилася точка? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
109
Переформулюйте |
|
|
|
|
Переформулюйте |
|
|
Переформулюйте |
||||||||||||||||
задачу: |
знайдіть |
|
|
|
|
задачу: |
|
знайдіть |
|
задачу: |
|
скалярний |
||||||||||||
роботу |
сили |
|
|
|
|
|
|
|
скалярний добуток |
|
добуток |
вектора |
||||||||||||
|
F |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівнодіючої |
та |
|||||||||||
по |
переміщенню |
|
|
|
|
векторів |
|
F і AB . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
вектора |
|
колінеарного |
век- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тіла на вектор |
|
AB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тору |
|
0;0;1 дорівнює |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Знайдіть модуль остан- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нього. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учимося застосовувати ППЗ під час |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
обчислення кутів між векторами |
|
|
|
|||||||||||||
5. 20. Координати |
сили, |
що |
діє на |
точку, – |
Fx 3 H |
, |
Fy |
4 H |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fz 5 H . |
Координати |
переміщення |
|
|
точки |
Sx 7 м , |
Sу |
1 м , |
||||||||||||||||
Sz 3 м . |
Обчислити роботу сили F , що діє на точку, й кут |
між |
||||||||||||||||||||||
вектором сили |
F |
й вектором переміщення S |
із застосуванням ППЗ |
|||||||||||||||||||||
Gran3D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переформулюйте умову на математичну. Знайдіть кут між |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
{3; 4; 5} |
|
|
|
7; 1; 3 та скалярний добуток |
|
||||||||||||||||
векторами |
F |
й S |
|
цих |
||||||||||||||||||||
векторів.
Хід обчислення.
1. Відкрийте вікно ППЗ Gran3D.
2. За допомогою опції Об’єкт-Створити-Точка побудуйте в полі програми точки S (7; 1; 3), F(3; 4; 5).
3.За допомогою опції Обчислення-Кут-За трьома точками введіть послідовно точки S(7; 1; 3), О(0; 0; 0), F(3; 4; 5), активізуючи їх координати курсором по команді «виберіть … точку». У правому нижньому куті звіту з’явиться значення кута.
4.За допомогою опції Обчислення-Значення виразу введіть числовий вираз
7 3 1 4 3 5 та отримайте результат обчислень у цьому ж вікні.
110
Як пов’язані векторний та мішаний добутки з інженерною практикою
Припустимо, до тіла (точка А) прикладено силу F AB та задано
точку О – як деяку точку простору (рис. 6.1.). Знайдіть момент сили F щодо точки О. Момент сили M щодо точки, у якій закріплено тіло, характеризує здатність сили обертати тіло навколо цієї точки, відносно якої він береться. При обертовому русі силовий вплив характеризується моментом сили, а не силою.
Моментом сили щодо точки О називають вектор M , який проходить через точку О й задовольняє такі умови: перпендикулярний площині, що проходить через точки О, А і В; чисельно дорівнює добутку сили на плече;
утворює праву трійку з векторами OA і AB .
Рис. 6.1. Модель-схема моменту сили F щодо точки О
Поняття векторного добутку векторів виникає під час обчислення такого моменту сили, що дорівнює векторному добутку вектора сили на
вектор переміщення, отже, M OA F .
111
Складаємо опорний конспект
Векторний добуток векторів
Урезультаті векторного добутку
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора a |
|
на вектор |
b , на відміну від |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
скалярного добутку, завжди буде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
отримано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Модуль |
вектора c , |
|
отриманого |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
результаті векторного добутку вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a на вектор b , |
обчислюють |
за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... , де |
|||||||||||||||||||||||||
формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
... |
... |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кут - кут між векторами a і b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Щодо кожного з векторів |
a і |
b |
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
с , що є векторним |
добутком, … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
розташований завжди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вектори a , b і c , |
що отриманий у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
результаті |
|
векторного |
|
добутку вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a на вектор b , утворюють |
праву |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
трійку. Тобто якщо дивитися з кінця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
результуючого вектора |
|
c , |
|
то |
най- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
коротший поворот від першого вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
a до другого вектора b здійснюється |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
За геометричним змістом модуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
, побудованого на |
|||||||||||||||||||||
|
векторного добутку дорівнює |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
прикладених до спільного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
початку векторах a і b |
|||||||||||||||||
До |
алгебраїчних |
властивостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
векторного добутку відносяться: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
... b a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
b |
|
|
... a b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
112