Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

5.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Відповідь: a, b, c утворюють ліву трійку.

6.18. Чи належать точки A(2; 1; 3) , B( 4;1; 2) , C(0; 6;3) і D( 12; 2;5)

одній площині.

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть координати векторів AB, AC і AD .


Якщо відомі координати початку	A(x1; y1; z1 ) та кінця B(x2 ; y2 ; z2 ) вектора AB ,
то його координати знаходять за формулою			x2 x1; y2 y1; z2 z1 .
то його координати знаходять за формулою		AB	x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

Крок 2. Знайдіть мішаний добуток AB AC AD .

ax ;ay ;az ,

bx ;by ;bz і

cx ;cy ;cz задано

Якщо вектори

своїми координатами, то їхній мішаний добуток обчислюється за формулою:

a b c

Крок 3. Визначте, чи є вектори AB, AC і AD компланарними.

Скористайтесь ознакою компланарності векторів: вектори a , b і c компланарні тоді й лише тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює нулю.

Крок 4. Оскільки вектори AB, AC і AD не є компланарними, то точки A, B, C і D не лежать в одній площині.

Відповідь: не лежать в одній площині.

123

Учимося моделювати професійну діяльність інженера


6.19.	Знайдіть	величину	моменту результуючої	сил		F 1 (3 ; 2; 1) ,
F2 2;	1; 3 ,	F3 4; 1;	3 , прикладеної до точки	А(4;	5; 1) щодо
точки О ( 3; 1; 1) .

Хід розв'язання.

Крок 1. Знайдіть координати вектора результуючої сил.

Робота результуючої сили дорівнює сумі робіт складових сил. При додаванні векторів їхні відповідні координати додають.

Знайдіть суму складових сил:

F F1 F2 F3 F ...

Крок 2. Знайдіть координати вектора OA .

Якщо відомо координати початку O xo , yo , zo та кінця A xa , ya , za вектора OA , то його координати знаходять за формулою OA xa xo , ya yo , za zo .

ОА ...

Крок 3. Знайдіть вектор моменту результуючої сили.

Момент сили дорівнює векторному добутку вектора сили на вектор переміщення M OA F , де

	i	j	k
OA F	xOA	yOA	zOA	.
	xF	yF	zF

124

i j k

Обчисліть визначник OA F 7	4	2 .
1	2	1

Скористайтесь для обчислення визначника правилом трикутника.

	i	j	k

M	7	4	2
	1	2	1

Крок 4. Знайдіть величину моменту результуючої сил М .

Довжину (модуль) вектора a обчислюють за формулою

ax2 ay2 az2 .

0; 5; 10

Отже,

xM2 yM2

zM2 , де

...

Відповідь: величина моменту

результуючої

сил

F2 ,

F3 ,

прикладеної до точки А щодо точки О ,

11,1803 од. моменту.

6.20. Обчисліть площу грані АВС і об’єм піраміди, вершинами якої є

точки A 2;

1; 1 , B 5; 5;

4 , C 3; 2; 1 ,

D 4; 1; 3 .

Хід розв'язання.

Крок

1. Знайдіть

координати

векторів

AB ,

AD ,

на

яких

побудовано піраміду.

Якщо відомі координати початку A x1,

y1, z1

та кінця

B x2 ,

y2 , z2 вектора

x2 x1, y2

y1, z2 z1 .

AB , то його координати знаходять за формулою

...

125

Крок 2. Знайдіть площу грані АВС.

Якщо відомі координати вершин трикутника АВС, то його площу доцільно шукати за формулою

ABC

AB AC

ax ,

ay , az ,

bx ,

by , bz задані своїми координатами, то

Якщо вектори

векторний добуток знаходять за формулою

a b

Для обчислення визначника скористайтесь теоремою Лапласа.


AB AC						...

... ...

Знайдіть модуль векторного добутку.

Довжину (модуль) вектора a обчислюють за формулою a ax2 ay2 az2 .

			1
S	ABC		1	AB AC	...	... êâ. î ä.
S				AB AC	...	... êâ. î ä.
		2
		2

Крок 3. Знайдіть об’єм піраміди, побудованої на векторах AB , AC і

AD .

Об’єм піраміди, побудованої на векторах a , b і c , дорівнює 1/6 частини об’єму паралелепіпеда, тобто Vпіраміди 16 a b c .

Отже, об’єм піраміди VABCD дорівнює 1/6 частини об’єму паралелепіпеда,

побудованого на векторах AB , AC і AD .

Для обчислення визначника третього порядку скористайтесь правилом трикутника.

126

VABCD

...

3куб. од.

Відповідь: S

ABC

59 кв. од., V

ABCD

Учимося самостійно розв’язувати

завдання

6.21.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Дано трикутник

ABC ,

Дано трикутник

ABC ,

паралелограмі

де A( 1;0;2) ,

B(2; 1;1)

де A( 1;0;2) , B(2; 1;1)

ABCD

відомі

коор-

C(1;1; 1) .

Знайдіть

C(1;1; 1) .

Знайдіть

динати

трьох

вершин:

площу

трикутника

довжину його

висоти

A( 1;0;2) ,

B(2; 1;1) і

C(1;1; 1) . Знайдіть дов-

ABC .

AH .

жину його висоти BH .

Переформулюйте

Застосуйте

метод

Виділяйте

під-

задачу: знайдіть

площ:

обчисліть

задачі:

знайти

площу

двома

координати

вер-

AB AC

способами:

шини

D ;

через векторний

добуток

обчислити

площу

пара-

векторів; 2) через сторону

лелограма;

обчислити

та висоту, проведену до цієї

висоту через площу.

сторони.

6.22.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

З’ясувати,

чи

Чи утворюють вектори

При яких

значеннях

компланарними векто-

1;1;2 ,

0;2; 1

параметру

вектори

ри

1;1;2 ,

3; ; 4 ,

2; 1;3 і

і c 2; 1;0 базис.

0;2; 1

10;1;1

компла-

2; 1;0 .

нарні.

Переформулюйте

задачу: чи дорів-

задачу: чи ком-

задачу:

при

яких

нює нулю мішаний

значеннях

планарні вектори a

добуток векторів

a b c 0 .

b і c .

a ,

b і

c .

127

6.23.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть

4 , а кут

якщо

4 , а

якщо

, якщо

4 , а

між ними дорівнює 6.

a b 0

кут між ними дорівнює

5 6.

Виділяйте під-

Переформулюйте

задачі:

3 ,

запитання задачі:

задачу:

1) спростіть вираз

знайдіть

a b a b ;

4 ,

a b a b

а кут

між

2) знайдіть модуль

2 .

ними

дорівнює

отриманого вектора.

Знайдіть

6.24.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть

будь-який

Знайдіть

одиничний

Знайдіть

одиничний

вектор,

перпенди-

вектор,

перпенди-

вектор

такий,

що

кулярний

векторам

кулярний

векторам

перпендикулярний

2;0; 3 і

1;1;2

2;0; 3 і

1;1;2

векторам

2;0; 3 і

1;1;2 ,

та

вектори

a, b і c утворюють

праву трійку векторів.

За

допомогою

Переформулюйте

відомих

вам

задачу:

знайдіть

задачу:

знайдіть

операцій

над

одиничний вектор,

векторами утворіть

колінеарний

век-

однаково напрям-

вектор, який був би

торному

добутку векторів

лений з

векторним

до-

перпендикулярним кожному

a і b .

бутком векторів

a і b .

з векторів a і

b .

6.25.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть момент

сили

Знайдіть

момент

та

Знайдіть момент та на-

2; 4;5 ,

напрямні косинуси сили

прямні косинуси рівно-

діючої сил

F 2; 4;5 і

прикладеної

до

точки

F 2; 4;5 ,

прикладе-

N 1; 1;2 , прикладених

A(1;0; 2)

щодо

ної до точки

K( 1;1;2)

до точки

K( 1;1;2)

початку координат.

щодо точки M (3;4; 2) .

128

Переформулюйте

Виділяйте

підза-

задачу:

знайдіть

задачу:

знайдіть

дачі:

знайти

векторний добуток

векторний

добуток

рівнодіючу

сил

векторів OA F .

векторів

MK F

F і

N ;

та його напрямні косинуси.

знайдіть

момент

та

напрямні

косинуси

рівнодіючої.

6.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть об’єм пірамі-

Знайдіть об’єм парале-

Знайдіть висоту парале-

ди з вершинами в точ-

лепіпеда,

побудованого

ках A( 1;0;2) ,

B(2; 1;1) ,

побудованого

на векторах

C(1;1; 1) і D(0;0; 5) .

на векторах

a p 3q r ,

b 2 p q 3r,

c p 2q r ,

якщо за

основу

взято

паралелограм,

побудо-

де

p, q і r – взаємно

перпендикулярні орти.

ваний на векторах a і b

p, q і

–

взаємно

перпендикулярні орти.

Переформулюйте

Оберіть

декартову

задачу:

знайдіть

декартову

систему

координат

об’єм тетраедра,

систему коорди-

таким

чином, щоб

що

побудований

нат таким чином,

i p ,

j q

k r

на векторах DA, DB і DC .

щоб i p , j q і

k r .

Учимося застосовувати CAS під час

обчислення моменту сили відносно точки та

об’єму піраміди

6.27. Силу

5; 4; 1

прикладено

до точки

А (-1;1;5).

Знайдіть

величину та напрям моменту цієї сили щодо точки О (0;-1;2) .

Переформулюйте умову на математичну. Знайдіть абсолютну

5; 4; 1 та ОА { 1; 2; 3}

величину векторного добутку векторів F

за допомогою CAS Mathcad.

Хід обчислення.

1. Відкрийте вікно CAS Mathcad.

129

2. За допомогою опції Вид – Панели инструментов – Матрицы та Вид – Панели инструментов – Вычисление винесіть на панель інструментів

вкладки та .

3. Введіть координати векторів F та OM :

– у полі програми введіть ім’я векторів, знак присвоювання та клацніть на панелі по символу матриці;

– вкажіть у вікні вводу число рядків і стовпців та введіть у помічених позиціях координати векторів.

4. Обчисліть абсолютну величину векторного добутку M OA F :

–клацніть на панелі по символу абсолютної величини, введіть векторний добуток, введіть у позиціях шаблону імена множників;

–натиснувши клавішу Space, виокремте вираз рамкою і введіть із клавіатури знак рівності.

Після знака рівності буде отримано числове значення, що визначає абсолютне значення моменту сили щодо точки.

6.28. Дано піраміду з вершинами в точках О (0; 0; 0), А (5; 2;0), В (2; 5; 0) і С (1; 2; 4). Знайдіть об’єм піраміди за допомогою CAS Mathcad.

Хід обчислення.
1. Відкрийте вікно CAS Mathcad.						,
2. За допомогою			опції	Вид	–
						та
Панели	инструментов				–

Матрицы	та	Вид –		Панели
инструментов		–	Вычисление
винесіть на	панель		інструментів

вкладки:

3. Введіть координати векторів AB , AC і AD :

– введіть ім’я векторів a, b, c , знак присвоювання та клацніть на панелі по символу матриці;

– вкажіть у вікні Вставка матрицы число рядків і стовпців та введіть у помічених позиціях шаблону координати векторів.

4. Обчисліть об’єм піраміди VABCD 16 a b c :

–введіть з клавіатури V, знак присвоювання, клацніть на панелі по символу абсолютної величини та введіть відношення: у чисельнику з клавіатури або з панелі Вставка функции функцію augment (a, b, c) , у знаменнику – 6 ;

–введіть із клавіатури V та знак рівності.

Після знака рівності буде отримано числове значення об’єму піраміди.

130

Готуємось до контрольної роботи

1. Розв’яжіть систему лінійних рівнянь матричним методом:

x y 2z 3,3x 2 y z 2,

x 2 y 2z 3.

Під час застосування матричного методу скористайтесь наявним алгоритмом знаходження матриці, оберненої для заданої.

2. Перевірте на колінеарність вектори c 1 і c 2 , побудовані за векторами a

та b : a 1; 2; 3 , b 3; 0; 1 , c 1 2 a 4b , c 2 a 3b .

Скористайтесь відповідними правилами для обчислення добутку вектора на число та суми й різниці векторів. Колінеарність векторів перевірте за допомогою наявної ознаки.

3. Знайдіть косинус кута між векторами AB та AC , якщо: A(1, 2, 3),

B(0, 1, 2), C(3, 4, 5).

Скористайтесь наявними правилами для обчислення координат вектора, скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами, й обчислення довжини вектора. Косинус кута між векторами обчисліть за допомогою наявної формули.

4. Перевірте компланарність векторів

та

2; 3;

1; 0; 1 ,

2; 2; 2 .

Компланарність векторів перевірте за допомогою наявної ознаки. Для обчислення отриманого визначника скористайтесь правилом трикутника.

5*. Знайдіть розкладання вектора

4; 7 ,

за векторами p, q, r :

0; 1; 2 ,

1; 0; 1 ,

1; 2;

4 .

Переконайтесь, що вектори p , q ,

r утворюють базис.

Складіть комбінацію

x p q r , за якою складіть систему трьох рівнянь із невідомими

, ,

Для розв’язання системи застосуйте метод Крамера. Підставте отримані

значення

, , у комбінацію x p q r .

6*. Обчисліть площу паралелограма, побудованого за векторами

та

2, кут між векторами

дорівнює

131

Скористайтесь геометричним змістом векторного добутку та формулою для обчислення модуля векторного добутка.

7*. Сила F (2; 1;2) прикладена до точки А(3;4;-2). Визначте величину та напрям моменту цієї сили щодо початку координат.

Скористайтесь фізичним змістом векторного добутку та формулой обчислення модуля векторного добутка двох векторів, заданих координатами.

8**. Елементи ланок, схема яких зображена на рисунку 7.1, має наступні значення: Е1 = 1,5 В, Е2=1,6 В, R1 =10 Ом, R2 =20 Ом. Опір вольтметра Rv = 20 Ом. Знайдіть струм в усіх гілках. Опір з’єднуючих проводів та джерел напруги не враховувати.

Представте дані задачі на схемі, користуючись законами Кірхгофа й враховуючи напрями струмів, що обрані умовно, отримайте систему лінійних рівнянь. Для розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь скористайтесь наявним алгоритмом методом Гаусса.

Рис. 7.1. Схема до задачі 8

9**. Знайдіть лінійну швидкість обертання точок вовчка, що лежать на колі великого діаметра, рівного 20, якщо вектор 3; 2; 4 прикладений у центрі великого кола.

Скористайтесь формулою Ейлера для обчислення швидкості точки М

твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі (механічний зміст векторного добутку). Для знаходження вектора лінійної швидкості

обертання застосовуйте формулу				обчислення векторного			добутку	двох	векторів,
заданих координатами.
10**. Обчисліть об’єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2, A3, A4									та його
висоту,	яка опущена	з	вершини		A4	на грань	A1A2A3:	A1(1,	3, 6),
A2 (2,	2, 1), A3 ( 1,	0,	1),	A4 ( 4,	6,	3).

Для розв’язування завданння скористайтесь геометричним змістом мішаного добутку векторів. Для обчислення значення об’єму застосовуйте формулу мішаного добутку для трьох векторів, що задані координатами.

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019122.88 Кб28Теплотехника и термодинамика Маша 3.doc
#
31.08.20192.99 Mб545Теплотехника.doc
#
10.11.2019251.39 Кб49ТЕСТИ Макроек. показ.doc
#
05.03.2016474.62 Кб557Тесты по англ для шк.олимп.doc
#
05.03.201649.15 Кб51Тесты по ЭАУ №1.doc
#
05.03.20165.6 Mб31Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы).pdf
#
05.03.20167.3 Mб33Тетрадь 2 (аналитическая геометрия).pdf
#
05.03.20169.33 Mб13Тетрадь 3 (функция одной переменной).pdf
#
05.03.20161.33 Mб96Тех.мех.практические.doc
#
16.08.20195.29 Mб125Техническая термодинамика и теплопередача111.doc
#
19.11.20197.09 Mб78Технология возведения и реконструкции.doc