Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)

150

240

320

280

300

450

A 100

130

175

,

B

120

150

170

.

25

15

20

30

20

18

150 280

240 300

320 450

430

540

770

категоріями якості:

C

100

120

130 150

175 170

220

280

345

.

25

30

15 20

20 18

55

35

38

Таблицю

a

a

21

...

a

Отже, матриця, що складається з

11

1n

3 2 чисел aij

i 1, 2, 3;

j 1,

2 має

A

a21

a22 ...

a2n

... ... ...

...

,

вигляд

am2 ...

am1

amn

що складається

з

m n

чисел

A

aij i 1, 2, ..., n;

j 1,

2, ..., m ,

називають

матрицею

Числа aij

– елементи матриці, де

i вказує

…,

а j –

…

Добуток кількості рядків на кількість

Отже, для матриці

стовців

m n

називають

розміром

a

a

a

розмір

…

матриці

А

11

12

13

a22

a23

a21

Коротко матрицю позначають так:

A ai j , де i 1, n , j 1, m

A

та записують у вигляді таблиці

Матрицю A розміру m n позначають

Отже, матрицю

Am n

a

a

11

12

A a21

a22

a31

a32

позначають …

Матрицю, в якої кількість рядків

Отже, квадратна матриця 3 3 має

дорівнює кількості стовпців, називають

квадратною

вигляд

A

Якщо всі елементи матриці дорівнюють

Отже, нульова матриця 3 3 має

нулю, то матрицю називають нульовою

вигляд

A

Квадратну

матрицю

називають

Отже, трикутна матриця 3 3 має

трикутною, якщо всі елементи, що

а

розташовані

під

(над)

головною

A

11

діагоналлю, дорівнюють нулю, а серед

вигляд

а22

тих, що залишилися, є ненульові

а33

Квадратну матрицю, усі елементи якої,

Отже, діагональна матриця 3 3

крім діагональних, дорівнюють нулю,

має вигляд

називають діагональною

а

11

A

а22

а33

Квадратну матрицю, всі елементи

Отже, одинична матриця розміру

головної діагоналі

якої

дорівнюють

1

одиниці, а всі інші – нулю, називають

3 3 має вигляд Е

1

одиничною

1

Матрицю

A

T

називають

a

a

a

11

12

13

транспонованою

до

матриці A ,

якщо

Отже,

до

A a21

a22

a23

T

a31

a32

a33

рядки матриці

A

є стовпцями матриці

A , а стовпці – рядками матриці A

транспонованою є

AT

Матрицю, яка містить один стовпець,

Отже, вектор-стовпець розміру

називають

вектор-стовпцем

та

3 1 записують у вигляді

a1

записують у вигляді A

a2

A

...

an

Матрицю, яка містить один рядок,

Отже вектор-рядок розміру 1 3

називають вектор-рядком та записують

записують у вигляді

у вигляді A a1

a2

... an

A

Будь-якій квадратній матриці

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

A

... ... ... ...

det A

an 2

...

ann

an1

можна поставити у відповідність

визначник det A (або A )

Квадратну матрицю A називають

…

невиродженою, якщо її визначник

Якщо det A 0 , то матрицю

A

…

називають

a11

a12 ...

a1n

b11

b21

...

b1n

A B

A

a21

a22 ...

a2n

b12

b22

...

b2n

, B

,

...

...

... ... ...

...

...

...

am2 ...

bm2

...

am1

amn

bm1

bmn

Матриці A і B (тут A – перша матриця, B

Отже,

до

матриці

A розмірів

–

друга

матриця)

називають

узгодженими,

якщо

кількість

стовпців

2 3

узгодженою

може бути

матриця B розміром 3 ...

матриці

A

дорівнює

кількості

рядків матриці B

Добутком матриці A на матрицю B ,

розміри яких 2 3

і 3 2 відповідно, для

а

а

а

b

b

11

12

11

12

13

B b21

b22

,

A

а21

а22

а23

,

b31

b32

…, де

С

називають матрицю C AB розміру

Якщо А і В – матриці однакового

розміру,

то

A B

…

Якщо A – матриця, , – довільні

сталі, то A

…

Якщо A – матриця, ,

– довільні

сталі, то A

…

Якщо A,

B, C – матриці, де С – матриця

узгоджена з А і В , то

A B C

…

Якщо A – матриця та AТ – транспонована

до неї, то AT T

…

Якщо A,

B, C – матриці, де С – матриця

того ж розміру, що А і В ,

то A B C

…

Якщо А і В – матриці однакового розміру,

– довільна стала, то

A B

…

Якщо А і В – узгоджені матриці, –

довільна стала,

то

A B

…

Якщо А, В і С – узгоджені матриці ,

то A B C

…

Якщо А і В – матриці однакового розміру,

то A B T

…

Якщо А і В – узгоджені матриці,

то

A B T

…

Якщо А і Е (одинична) – узгоджені

матриці,

то Am n En n

…

Обернена матриця

Обернена матриця A 1

існує

тільки для кожної …

матриці A

Якщо виконуються рівності

A 1 A A A 1 E , де E

– одинична

матриця, того ж розміру, що й А, то

матрицю A 1

називають …

до матриці A

Транспонована матриця, що складається

з

алгебраїчних

доповнень

Aij

до

відповідних елементів

aij

матриці

до

матриці

a

a

a

A

11

12

13

a21

a22

a23 , має вигляд

a32

a31

a33

Обернену матрицю A 1 до матриці

a

a

a

11

12

13

A a21

a22

a23

A 1

1

a31

a32

a33

...

знаходять за формулою

Матричні рівняння

Матричне рівняння

a

a

a

х

b

11

12

13

1

1

a21

a22

a23

х2

b2

,

де

–

a32

a33

a31

х3

b3

a

a

a

A

11

12

13

невироджена

a21

a22

a23

–

a32

a31

a33

х

b

1

1

матриця,

а

X

х2

, B

b2

–

х3

b3

вектори-стовпці,

може бути

…

записано у вигляді

Розв’язати матричне рівняння AX B , де

знайти невідому матрицю …, що

А і В – відомі матриці, означає

задовольняє це матричне

рівняння

Розв’язок матричного рівняння AX B ,

де А і В – відомі матриці, знаходять за

Х …

формулою

Ранг матриці

Визначник порядку k , складений із

елементів, що стоять на перетині

виділених рядків і стовпців,

називають

…

k -го рядку матриці A

Найбільший порядок відмінного від

…

матриці A і позначають

нуля мінору матриці називають

r A

Ранг нульової матриці дорівнює

…

Мінор, порядок якого визначає ранг

матриці, називають

…

Ранг матриці можна знаходити так.

Якщо в матриці

a11

a12 ...

a1n

A

a21

a22 ...

a2n

знайдено

... ... ...

...

an 2 ...

an1

ann

відмінний від нуля мінор:

1) 2 -го порядку, а мінори порядку вище

2 -го дорівнюють нулю, то ранг матриці

1) дорівнює

…

;

2) k -го порядку, то ранг матриці

3) k -го порядку та всі мінори k 1 -го

2) не менший

…

;

порядку дорівнюють нулю, то ранг

матриці

3) дорівнює

…

;

4) k 1 -го

порядку,

то

переходять до

дослідження мінорів

4) порядку

…

.

Ранг матриці не зміниться, якщо над

1) переставити місцями

нею

виконати

елементарні

…

;

перетворення, а саме:

2) помножити

кожний

елемент

…

;

3) додати до

елементів рядка

(стовпця)

…

;

4) викреслити

…

.

Перевіряємо готовність до

практичного заняття

2.1. Елемент a12

1

2

3

1

дорівнює:

суми матриць

1

2

3

1

А

Б

В

Г

Д

0

1

6

3

2

2.2. Елемент a21