Кинематический анализ плоских рычажных механизмов (аналитический метод)

1. Определение положений механизма. ([1], §23, 24, 25; [2], §3.3)

2. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма. ([1], §23, 24, 25; [2], §3.3)

3. Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма. ([1], §23, 24, 25; [2], §3.3)

4. Кинематический анализ сложных механизмов. ([1], §26; [2], §3.3)

Кинематический анализ механизмов аналитическим методом выполняется с помощью ПК или другой вычислительной техники. Для этого составляется соответствующая программа вычислений, в которую входят формулы для определения положений звеньев и их кинематических характеристик. Если механизм имеет степень подвижности, равную 1, то все кинематические параметры должны определяться исходя из одной величины – обобщенной координаты (для механизмов с ведущим кривошипом, исходя из положения кривошипа).

В основу аналитического решения задачи положен метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А.Зиновьевым.¹

Покажем получение основных формул кинематического анализа на примере шарнирного четырехзвенника (Рис.5.1).

1. Определение положений механизма.

Дано:

ОА, АВ, ВС, ОС(Рис.5.1);

 ₁ – положение начального звена 1;

₁ – угловая скорость звена 1;

₁–угловое ускорение звена 1.

Определить:

₂(₁), ₃(₁)- ?

Рис. 5.1.

Решение

1. Выберем систему координат хоус началом в точкеО(Рис.5.1).

Рассмотрим векторный контур ОАС, в котором

(5.1)

Принимая , попытаемся определить зависимостии .

Для этого спроецируем (5.1) на оси хиу:

пр.х (5.2)

пр.y (5.3)

При этом и - неизвестные параметры.

Выполним преобразования, разделив (5.3) на (5.2):

(5.3) : (5.2) , (5.4)

т.е. получили зависимость .

Продолжим преобразования с выражениями (5.3) и (5.2):

(5.5)

т.е. получили зависимость .

2. Рассмотрим векторный контур и определими.

, (5.6), (5.7)

В (5.6) и (5.7) известно все, кроме _2Sи_3S, которые легко определить.

, (5.8)

т.е. получена зависимость .

, (5.9)

т.е. получена зависимость .

3. Определим и .

; (5.10)

; (5.11)

Отсюда : , т.е. имеем ; (5.12)

, т.е. (5.13)

Таким образом, в результате выполнения пп. 1÷3 определенои, т.е. положение звеньев, как функция, положения ведущего звена.

4. При необходимости можно определить положение точек, принадлежащих звеньям 2 или 3 (например, координаты и ,- см. рис.5.1). Покажем эту возможность.

Найдем проекции положения точек МиNна осихиу:

(5.14)

(5.15)

(5.16)

(5.17)

Поскольку , то полученные выше формулы позволяют найти,,,,,.

Задача определения положений звеньев и точек звеньев в функции от угла поворота выполнена.

2. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма.

Скорости точек и угловые скорости звеньев можно найти через соответствующие аналоги скоростей:

, (5.18)

где - аналог угловой скорости звена 2; (5.19)

, (5.20)

где - аналог угловой скорости звена 3; (5.21)

При этом ине зависят от₁.

Таким образом, чтобы найти и, достаточно найти аналогии.

Определим аналоги угловых скоростей, используя метод замкнутых векторных контуров:

Контур ОАВС(Рис.5.1)

(5.22)

Спроецируем (5.22) на оси хиу:

пр. х(5.23)

пр. у(5.24)

Возьмем производную по , учитывая, чтои

(5.25)

(5.26)

Если выполнить (5.25)cos₃+ (5.26)sin₃ , получим:

(5.27)

Отсюда:

, т.е. (5.28)

Если выполнить (5.25)cos₂+ (5.26)sin₂ , аналогично получим:

(5.29)

Откуда:

, т.е.(5.30)

Если известны аналоги (5.28) и (5.30), легко определить ₂и₃ из (5.18) и (5.20).

Определим скорости точек

Начнем с простого – точка Ви точкаМ.

; (5.31)

; (5.32)

(5.33)

Скорость точки Nвычислим по проекциям:

; (5.34)

(5.35)

(5.36)

По аналогии с введенными ранее понятиями аналогов угловых скоростей можно ввести понятия аналогов скоростей точекА, В, М, N.

; (5.37)

; (5.38)

; (5.39)

(5.40)

2. Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма.

Для определения ускорений используют аналоги ускорений:

;

, (5.41)

где - аналог углового ускорения звена 2. (5.42)

Аналогично:

, (5.43)

где - аналог углового ускорения звена 3.

Таким образом, для определения₂ и₃необходимо найти аналоги

Определим аналоги угловых ускорений (Рис. 5.1).

Продифференцируем уравнения (5.25) и (5.26) по ₁, учитывая, что₂(₁),₃(₁),.

=; (5.44)

; (5.45)

Если выполнить , получим:

; (5.46)

(5.47)

Если выполнить , получим:

(5.48)

(5.49)

Зная аналоги скоростей и аналоги ускорений, по формулам (5.41) и (5.43) находят ₂ и₃.

Ускорения точек, принадлежащих звеньям 1 и 3 (в нашем случае точки А, В, М) находят по формуле:

, (5.50)

где - ускорение- той точки;

- расстояние- той точки от оси вращения;

и- угловое ускорение и угловая скорость-го звена, которому принадлежит-я точка.

В качестве примера, определим ускорение точки В:

Ускорение точки N, принадлежащей звену 2, находят по проекциям, дифференцируя еще раз выражения и.

2. Кинематический анализ сложного механизма.

Дано: ОА – ведущее звено;

ОА, АВ, ВС, ОС, BD(Рис.5.2);

 ₁ – положение ведущего звена;

₁ – угловая скорость ведущего

звена;

₁–угловое ускорение ведущего

звена.

Определить: _i , V_k , _i , a_k , _i .

Рис. 5.2.

Кинематический анализ сложного механизма выполняется в последовательности, соответствующей написанию формулы строения механизма. В данном случае из формулы строения I(0,1)  II(2,3)  II(4,5) следует, что вначале необходимо определить кинематические характеристики ведущего звена 1. Затем рассматривают векторный контур ОАВС, определяя кинематические характеристики звеньев и точек двухповодковой группы II(2,3). После этого из векторного контура СВD определяют кинематические параметры следующей двухповодковой группы II(4,5).

В заключении следует подчеркнуть, что решение задачи кинематического анализа на ПК, хоть и обладает потенциально более высокими возможностями и точностью, все же само по себе не гарантирует правильного решения. В этой связи составленная компьютерная программа перед ее серьезным использованием должна быть опробована и отлажена на ряде тестовых задач, ответы на которые уже имеются.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем Вы видите преимущества аналитического метода кинематического расчета механизма в сравнении с графическим?

2. Объясните смысл понятий «аналог угловой скорости», «аналог углового ускорения».

3. Объясните смысл метода «замкнутых векторных контуров» при аналитическом решении задачи кинематического анализа.

4. В какой последовательности выполняется кинематический анализ сложного рычажного механизма?

Лекция 6