Конспект лекций Численные методы
1. Точные и приближенные методы решения линейных уравнений
1 Алгоритм отделения корней уравнения (аналитический метод)
Алгоритм отделения корней уравнения F(х)=0 должен предусматривать выполнение таких указаний:
Найти область определения уравнения - множество всех значений аргумента, при которых определены функции, составляющие уравнение.
Вычислить F'(х) и найти критические точки.
3аписать интервалы монотонности.
Исследовать знак функции на концах интервалов монотонности.
Выписать отрезки изоляции корней.
Полученные отрезки изоляции корней сузить каким-либо методом.
При написании алгоритмов предполагается, что все указания алгоритма выполняются последовательно друг за другом в порядке их написания, если не оговорена иная последовательность.
Пример
1. Отделить корни уравнения F (х)=х
-4х
+2=0.
1.Х= (-, )
2.F'(х)=3х -8х; Зх -8х=0.
Критические
точки: 0;
.
3.Интервалы
монотонности: (-;
0),(0;
),(
;+)
4.Исследование знака функции на концах интервалов
монотонности
дает: lim F(x)= -
,
F(0) 2, F
=
-
,
lim F(х)= +
5.Отрезки изоляции корней: (-; 0),(0; ),( ;+)
6.Методом проб сузим полученные интервалы до единичной длины:
[-1;
0]
[0;
1]
[3;
4]
Таким образом, данное уравнение имеет три действительных корня, причем
-1< x
< 0;
0< x
< 1;
3< х
< 4.
Левые концы отрезков изоляции корней можно принять за приближенные значения корней с недостатком, правые - с избытком.
2 Алгоритм отделения корней методом последовательного перебора
Сущность метода.
Большая
производительность современных ЭВМ
дает возможность отделить все
действительные корни уравнения методом
последовательного перебора. Нижнюю
границу А и верхнюю границу В корней
уравнения выбирают приблизительно,
исходя из физического содержания задачи,
описываемой решаемым уравнением, или
из графика функции у= F(х). В основе этого
метода лежит теорема 1: выбирается
начальное значение х = А, затем с
фиксированным шагом
х
= Н вычисляются значения функции F в
точках А+kН (k = 0), 1, 2,...) до тех пор, пока
она не изменит знак. Пусть, например,
после n-го шага в точке х = А+nН функция F
сменила знак, тогда [А+(n--1)Н; А+nН] - отрезок
изоляции корня, P=А + nH -
- приближенное значение корня уравнения
с точностью
=
,
то есть |x - P|
.
Правый конец этого отрезка принимают
за начальное значение следующего корня,
если он есть. Такое продвижение вправо
по оси Ох продолжают до тех пор, пока не
достигнут верхней границы корней В.
Этот алгоритм последовательного перебора
требует большого объема вычислительной
работы, обусловленного многократным
вычислением значения функции F с шагом
Н. Естественно, что для ручных вычислений
он непригоден. Основной проблемой
является выбор шага.
Цель алгоритма - отделить корни и найти их грубые приближенные значения. Следует отметить, что метод последовательного перебора не дает полной гарантии, что ни один из корней уравнения не будет потерян, особенно в тех случаях, когда корни достаточно близки друг к другу, а шаг не слишком мал. В таких случаях надо произвести новый просчет с более мелким шагом Н.