- •Конспект лекций Численные методы
- •1. Точные и приближенные методы решения линейных уравнений
- •2 Алгоритм отделения корней методом последовательного перебора
- •3.Алгоритмы уточнения корня
- •О точности полученных приближений (x2, , xcp) можно судить по невязке:
- •Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •Численное интегрирование
- •6 Численное дифференцирование
- •6.2. Метод Рунге-Кутта
- •7. Решение задач интерполяции и экстраполяции.
О точности полученных приближений (x2, , xcp) можно судить по невязке:
F(x2) = F(0,6070577) = - 0,0001569,
F( ) = F(0,6071207) = 0,0000681,
F(xcp) = F(0,6071) = 0,000006.
Метод последовательных приближений (итераций)
Сущность метода. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением
х = (х) (14)
Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение
х3 - 9х + 3 = 0
можно представить так:
Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х0 в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х1 = (х0). В качестве второго приближения берут х2 = (х1). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (хn), определенную с помощью рекуррентной формулы:
xn+1 = (xn), (n = 0, 1, 2, ...) (15)
Полученная последовательность х0, х1, ..., xn, xn+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.
При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (хn) к решению х* уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (хn) сходится, то есть существует предел х* = то, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция (х) непрерывна, получаем:
или x* = (x*). (16)
Следовательно, в этом случае х = х* является корнем уравнения х = (х), а значит, и уравнения F(x) = 0.
Если же последовательность (хn) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (хn), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.
Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:
‘(x) M1 < 1 (18)
для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М1; если же ‘(x) > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m1, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М1 = max‘(x), где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].
Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений
Самое простое уравнение — это линейное уравнение с одной переменной х вида:
ах = b. (1)
Обобщением таких уравнений является линейное уравнение с несколькими переменными х1, х2, ..., хn вида:
a1x1 + a2x2 +...+ anxn = b. (2)
Многие задачи сводятся к решению конечного множества уравнений вида (2), то есть системы линейных уравнений. В общем виде система n линейных уравнений с n переменными x1, x2,..., xn записывается как совокупность числовых равенств:
(3)
Коэффициенты aij системы для их упорядочения снабжаются двумя индексами, причем индекс i соответствует номеру строки, а j —номеру столбца (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., n). Тогда свободный член запишется в виде bi (i = 1, 2,..., n), а переменная— хj (j = 1, 2,..., n). Будем далее считать, что упорядоченные наборы чисел aij, xj и bi берутся из множества действительных чисел R. Решением системы (3) n уравнений с n переменными называют упорядоченную совокупность n чисел c1, c2, ...,cn . являющуюся решением каждого из уравнений, входящих в систему. Ясно, что эта совокупность чисел при подстановке ее в систему (3) вместо х1, х2, ..., хn обращает каждое уравнение системы в истинное числовое равенство. Таким образом, множество решений системы является пересечением множеств решений, входящих в систему уравнений.
В частном случае, при n = 2 и n = 3 получаем хорошо знакомые системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
(4)
и трех линейных уравнений с тремя переменными:
(5)
Решением системы (4) является упорядоченная пара чисел (c1, c2), а решением системы (5) — упорядоченная тройка чисел (с1, c2, c3).
Известно, что исследование и нахождение решения для систем (4) и (5) не представляют особых трудностей. Но задачи практического содержания сводятся к исследованию и решению систем линейных уравнений, содержащих десятки, сотни и даже тысячи переменных. Число элементарных операций при решении линейных систем с n переменными пропорционально примерно n3, поэтому решение таких задач стало возможным только с появлением быстродействующих ЭВМ.
Не останавливаясь на вопросах исследования систем линейных уравнений, в дальнейшем будем предполагать, что система имеет единственное решение. Поэтому основной задачей этой главы и будет изучение универсальных вычислительных алгоритмов, используемых для нахождения единственного решения системы линейных уравнений, когда число переменных совпадает с числом уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две группы: точные и итерационные (приближенные) методы.
Точными являются такие методы, которые позволяют получить решение системы после выполнения конечного числа арифметических операций над коэффициентами системы и их свободными членами. Причем решение получится точным только тогда, когда коэффициенты и правые части системы (3) известны точно и все арифметические действия над ними выполняются без округлений. Из точных методов рассмотрим метод Гаусса и правило Крамера. Однако на практике даже этими методами не всегда удается получить точное решение, ибо в ЭВМ точные коэффициенты представляются приближенно с некоторой погрешностью, а в процессе вычислений необходимо проводить округление чисел.
Итерационными являются методы, позволяющие получать решение системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. Из приближенных методов рассмотрим ниже метод итераций.
Алгоритм метода Гаусса
Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:
Коэффициенты аij при переменных будем рассматривать как элементы двумерного массива A (N, N), а свободные члены bi— как элементы одномерного массива В (N). Решение xi(i = ) разместим в одномерном массиве В (N). Коэффициенты аij и свободные члены bi будем рассматривать как элементы расширенной матрицы
.
Предписываемые методом Гаусса преобразования будем выполнять над элементами расширенной матрицы. Опишем формально алгоритм решения линейной системы методом Гаусса без выбора главного элемента.
1. Элементы первой строки расширенной матрицы (А | В) делим на а11. Полученную после такого деления первую строку умножаем последовательно на ak1(k = ) и вычитаем ее затем из k-ой строки (k = ). После этого преобразования в первом столбце массива A (кроме ) все элементы будут равны нулю, то есть получим матрицу:
2. Элементы второй строки расширенной матрицы делим на , затем умножаем ее последовательно на и вычитаем из оставшихся строк при
3. Продолжаем этот процесс исключения переменных (получения нулей) до тех пор, пока подобная процедура не будет проделана с (n — 1)-й строкой матрицы. После этого получим матрицу:
4. Элементы n-й строки делим на и в результате получаем:
На этом закончился прямой ход метода Гаусса.
5. Выполняем обратный ход метода Гаусса: в (п—1)-ю строку последней матрицы подставляем значение хn и находим значение xn-1, затем последовательно находим xn-2, xn-3, ... , x2, x1 по формулам:
Этот алгоритм является экономичным в смысле использования памяти, так как все промежуточные и окончательные значения элементов в процессе преобразования матриц последовательно хранятся в тех же ячейках памяти, что и массивы А и В. Очередные значения диагональных элементов перед началом преобразования строк будем присваивать простой переменной D, что позволит хранить их до окончания преобразования очередной строки матрицы.
Значения переменных xn, xn-1, ...,x1 присваиваются элементам массива свободных членов В.
Метод Гаусса с выбором главного элемента заключается в том, что при прямом ходе производится выбор наибольшего по модулю (главного) элемента и перестановка строк или столбцов. Последнее исключает деление на 0, если матрица коэффициентов содержит нулевые элементы, и повышает точность вычислений при наличии ошибок округления. Обычно для программ, ведущих вычисления с числами с плавающей точкой, достаточен выбор Aii 0.
Метод вращения является разновидностью метода Гаусса. Он обладает повышенной устойчивостью к “провалам” промежуточных вычислений. Этот метод обеспечивает приведение исходной системы к системе с верхней треугольной матрицей (см. литературу).
Правило Крамера
Правило Крамера рассмотрим на примере двух линейных уравнений с двумя переменными:
(17)
хотя оно применимо и для решения системы n линейных уравнений с n переменными, но с увеличением n требует большого объема вычислительной работы.
Умножим первое уравнение системы (17) на коэффициент а22, а второе — на — a12 и полученные уравнения сложим. Тогда имеем:
Если a11a22 - a21a12 0, то получаем значение переменной
Аналогично, умножая первое уравнение системы (17) на —a21, второе — на а11 и складывая их, получаем:
Введем обозначения: a11a22 - a21a12 = = ;
b1a22 - b2a12 =
a11b2 - a21b1 =
Следовательно, — определитель матрицы коэффициентов системы (17). Определитель получается из определителя , если коэффициенты системы (17) при x1 (первый столбец матрицы А) заменить свободными членами
B = ;
Определитель — если заменить коэффициенты системы (17) при x2 (второй столбец матрицы А) свободными членами.
Определитель называется главным определителем системы (17), а определители 1 и 2 — вспомогательными.
Если главный определитель , то матрица называется неособенной, в противном случае - особенной.
Таким образом, если главный определитель системы уравнений (17) , то система имеет единственное решение, определяемое формулами
(18)
Формулы (18) называются формулами Крамера.
Нахождение решения линейной системы (17) по формулам (18) называется правилом Крамера, который одним из первых пришел к понятию определителя и доказал сформулированное выше предложение.
Справедливы также следующие два предложения:
1. Если главный определитель системы (17) = 0, но хотя бы один из вспомогательных определителей 1 или 2 отличен от нуля, то система (17) не имеет решений (система несовместна).
2. Если все три определителя , 1 и 2 системы (17) равны нулю, но среди коэффициентов аij (i, j = 1,2) есть хотя бы один, отличный от нуля, то система (17) имеет бесконечное множество решений.
Легко дать геометрическое истолкование этим предложениям. Поскольку каждому уравнению системы (17) в плоскости соответствует некоторая прямая, то система (17) имеет единственное решение, если прямые имеют одну общую точку; не имеет решений, если прямые параллельны; и имеет бесконечное множество решений, если прямые сливаются.
Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными имеет определенное теоретическое значение; практически им уже при n = 4 не пользуются. Установлено, что число операций умножения и деления, которые необходимо выполнить при решении линейной системы алгебраических уравнений порядка n по формулам Крамера, равно:
N(n) = (n2 — 1)n! + n,
а по схеме единственного деления метода Гаусса:
N(n) = (n2 + 3n — 1).
Для сравнения объема вычислительной работы по этим двум алгоритмам подсчитаем количество операций:
по Крамеру по Гауссу
при n = 5 2885 65
при n =10 360*106 430
Поэтому все современные ЭВМ имеют стандартные подпрограммы, реализующие различные модификации метода Гаусса.
3. Метод итераций и метод Зейделя
Метод итераций позволяет получить последовательность приближенных значений, сходящуюся к точному решению системы линейных уравнений. В отличие от метода Гаусса, метод итераций не требует контроля промежуточных вычислений, так как отдельные ошибки на каком-либо шаге итерации не искажают окончательных результатов, хотя и удлиняет процесс счета. Иначе говоря, метод итераций решения систем линейных уравнений является самоисправляющимся. Кроме того, метод итераций легко запрограммировать для ЭВМ. Пусть имеем систему
или, короче,
. (19)
Предположим, что определитель системы отличен от нуля и что диагональные коэффициенты
Выразим из первого уравнения x1, из второго x2, и т. д. Тогда получим эквивалентную систему:
где
Полученную систему запишем так:
(20)
и назовем ее системой нормального вида.
Будем решать ее методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем, например, столбец свободных членов
Подставив в правую часть системы (20) значения (i = ), получим первое приближение: .
Затем аналогично второе: и т. д.
Таким образом, зная k-e приближение, (k + 1)-е приближение вычисляют по формуле (21)
Если последовательность приближений ( ) (j = ) имеет предел
то является точным решением системы нормального вида, а значит, и исходной системы. В самом деле, переходя к пределу при в (21), имеем:
Описанный метод последовательных приближений называется методом итераций. Рабочие формулы метода итераций имеют вид:
(22)
Существование предела
гарантирует теорема о достаточном признаке сходимости процесса итераций.
Достаточным условием сходимости итерационных методов является условие
При методе Зейделя итерационный процесс подобен описанному для метода простых итераций, однако уточненные значения Хij+1 сразу подставляются в последующие уравнения. Формула итерационного процесса имеет вид: