13.3. Решение транспортной задачи методом северо – западного угла

Для иллюстрации решения задач методом северо – западного угла рассмотрим на конкретном примере все этапы её решения.

Э

56

тап№1:Начертим матрицу (таблица 13.2.) и внесём в ячейки исходные данные задачи: Поставщики: П1(250т), П2(400т), П3(150т), П4(300т). Потребители: К1(500т), К2(100т), К3(300т), К4(200т).

Таблица 13.2.

КJ ПI	500	100	300	200
250	Х11	Х12
400	Х21
150
300

Нам необходимо вписать в незаполненные ячейки оптимальное количество груза от поставщиков к потребителям, чтобы общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Обозначим незаполненные ячейки номерами строк и столбцов:

Х11; Х12; Х13; Х14; …Х21; Х22 и т.д.

Составим математическую модель:

Х11+ Х12+ Х13+ Х14=250

Х21+ Х22+ Х23+ Х24=400

Х31+ Х32+ Х33+ Х34=150

Х41+ Х42+ Х43+ Х44=300

Х11+ Х21+ Х31+ Х41=500

Х12+ Х22+ Х32+ Х42=100

Х13+ Х23+ Х33+ Х43=300

Х14+ Х24+ Х34+ Х44=200

Х_IJ > 0, i = 1,2,3,4; j = 1,2,3,4.

Нужно найти минимальное значение целевой функции, которая даст оптимальное значение стоимости всех перевозок. Она определяется как сумма произведений объёма перевозок на стоимость перевозки от каждого поставщика к каждому потребителю.

В табл. 13.3. приведены стоимости перевозок 1-ой тонны груза в условных денежных единицах от каждого поставщика к каждому потребителю:

Таблица 13.3.

1	5	7	4
2	6	8	1
3	1	3	6
4	2	1	3

Запишем целевую функцию:

F = 1*Х11+5*Х12+7*Х13+4*Х14+2*Х21+6*Х22+…+3*Х44. (13.1)

Э

57

тап №2: Составим методом северо – западного угла первое распределение поставок, начиная с заполнения верхней левой («северо – западной») клетки таблицы. Примем объём перевозки от П1 к К1 максимально возможным исходя из условий задачи и равным 250т. Поставщик отдал всю продукцию и строку №1 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Далее в таблице найдём новый «северо – западный» угол. Это ячейка 21. Помещаем в неё объём перевозки от П2 к К1 равный 250т. Потребитель №1 получил всю продукцию и поэтому весь столбец №1 исключаем из дальнейшего рассмотрения.

Следующим «северо – западным» углом будет ячейка 22. И т. д. Итак, табл. 13.4. является исходным распределением поставок.

Таблица 13.4.

	500	100	300	200
250	250	0	0	0	250
400	250	100	50	0	400
150	0	0	150	0	150
300	0	0	100	200	300
	500	100	300	200
						2900

Получим следующее значение целевой функции:

F = 1*250+2*250+6*100+8*50+3*150+1*100+3*200 = 2900 (у.е.)

Этап №3: Для проверки результата на оптимальность необходимо сформулировать математическую модель двойственной исходной с введением 8-ми переменных, значения которых равно 0. Строится таблица из 8-ми строк и 8-ми столбцов, строятся системы неравенств. Если неравенства выполняются, то решение является оптимальным. Если нет, то вводится так называемая «нулевая клетка» и опять строится таблица, в ней строится контур, по которому перемещаются величины поставок в другие клетки. Снова находим целевую функцию. Так, иногда, приходится поступать много раз, пока решение даст оптимальный результат.