Задачі для самостійного розв’язування

1. Куля радіус якої R=0,1 м і маса m=10 кг, обертається навколо своєї осі згідно з рівнянням , де А=1 рад/с³, В= –3 рад/с². Визначити момент сили для моментів часу t=1 с і t=2 с.

2. Однорідний суцільний диск радіус якого R=0,1 м може обертатися навколо вертикальної осі, яка збігається з його віссю симетрії. До ободу диска прикладена дотична сила F=200 Н. Визначити масу диска, якщо його кутове прискорення ε=40 рад/с², а момент сили тертя, що діє при обертанні диска, М=10 Н·м.

3. Куля скочується без ковзання з похилої площини, яка нахилена під кутом α до горизонту. Визначити лінійне прискорення а центра мас кулі. Коефіцієнт тертя ковзання між кулею і площиною ƒ. При якому куті α₁ куля почне ковзати?

4. Обруч радіуса R, який обертається навколо вертикальної осі, що перпендикулярна до площини обруча і проходить через його центр з кутовою швидкістю ω, опускають на горизонтальну поверхню. Коефіцієнт тертя обруча о поверхню ƒ. Визначити кутове прискорення ε обруча. Скільки обертівN зробить обруч на поверхні до повної зупинки.

5. Суцільний циліндр, маса якого m і радіус R, обертається навколо своєї осі за законом . Як залежить від часу момент М сили, що діє на циліндр, і момент імпульсуL циліндра?

6. Вал у вигляді суцільного циліндра радіуса R=10 см насаджено на горизонтальну вісь. На циліндр намотано нитку, до кінця якої підвішений вантаж масою m=1 кг. Обчислити момент імпульсу L системи відносно осі блока через t=3с після початку руху вантажу.

7. Людина стоїть на лаві Жуковського і ловить рукою м'яч масою m = 0,4 кг, що летить у горизонтальному напрямку зі швидкістю v = 20 м/с. Траєкторія м'яча проходить на відстані r = 0,8 м від вертикальної осі обертання лави. З якою кутовою швидкістю  почне обертатися лава Жуковського з людиною, яка піймала м'яч, якщо сумарний момент інерції J людини і лави дорівнює 6 кг-м²?

8. Платформа, що має форму диска, може обертатися біля вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина масою 60 кг. На який кут  повернеться платформа, якщо людина піде уздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться у вихідну точку на платформі? Маса платформи дорівнює 240 кг. Момент інерції J людини розраховувати як для матеріальної точки.

9. Платформа у вигляді диска радіусом R = 1 м обертається по інерції з частотою 6 хв^–1. На краю платформи стоїть людина, маса m якої дорівнює 80 кг. З якою частотою буде обертатися платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції J платформи дорівнює 120 кг-м². Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Тема 7

Механічні властивості твердих тіл. Закон Гука.

Елементи гідродинаміки. Закон Бернуллі

Теоретичні відомості

Під дією прикладених сил усі тіла деформуються. Деформацією називають зміну форми, розмірів або об’єму тіла. Деформація називається пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил тіло приймає первісні розміри і форму. Деформації, що зберігаються в тілі після припинення дії зовнішніх сил, називаються пластичними.

Види деформацій: а) розтягання (стиск); б) зсув; в) вигин; г) крутіння. У теорії пружності доводиться, що усі види можуть бути зведені до одночасно діючим деформаціям розтягання або стиску і зсуву.

Розглянемо однорідний стрижень довжиною і площею поперечного перерізу S, до кінців якого прикладені спрямовані уздовж його вісі сили і , у результаті чого довжина стрижня змінюється на величину . Будемо вважати, що при розтяганні позитивно, а при стиску – негативно.

Механічною напругою називається фізична величина, що дорівнює силі, яка діє на одиницю площі поперечного перерізу тіла. Якщо сила спрямована по нормалі до поверхні, то напругу називають нормальною, а якщо по дотичній до поверхні, то тангенціальною.

–нормальна напруга; – тангенціальна напруга.

Кількісною мірою, що характеризує ступінь деформації тіла, є його відносна деформація. Подовжньою деформацією називають відносна зміна довжини стрижня:

.

Поперечною деформацією називають відносна зміна поперечних розмірів тіла:

,

де d – діаметр стрижня.

Деформації і завжди мають різні знаки. З досліду випливає взаємозв'язок між і :

,

де – позитивний коефіцієнт, що залежить від властивостей матеріалу, називаний коефіцієнтом Пуассона.

Англійський фізик Р. Гук експериментально установив, що для малих деформацій відносне подовження і напруга  прямо пропорційні одна одній:

–закон Гука.

де коефіцієнт пропорційності Е називається модулем пружності речовини або модулем Юнга. З останньої формули випливає, що модуль Юнга визначається напругою, яка викликає відносне подовження, що дорівнює одиниці.

Деформації твердих тіл підкоряються законові Гука до відомої межі. Зв'язок між деформацією і напругою представляється у виглядіді діаграми напруг. З малюнка видно, що лінійна залежність , що встановлена Гуком, виконується лише в дуже вузьких межах до напруги, яка називається границею пропорційності . При подальшому збільшенні напруги деформація при нелінійній залежності ще пружна і до границі пружності залишкові деформації не виникають. За границею пружності в тілі виникають залишкові деформації. Напруга, при якій з'являється помітна залишкова деформація (0,2%), називається границею текучості – точка В на кривій. Далі деформація зростає без збільшення напруги, тобто тіло як би "тече". Ця область називається областю плинності (або областю пластичних деформацій). Матеріали, для яких область плинності значна, називаються в’язкими, для яких же вона практично відсутній – крихкими. При подальшому розтяганні відбувається руйнування тіла. Максимальна напруга, що виникає в тілі до руйнування, називається границею міцності .

Визначимо потенціальну енергію пружно розтягнутого стрижня, що дорівнює роботі, чиненої зовнішніми силами при деформації:

,

де х – абсолютне подовження стрижня, що змінюється в межах від 0 до .

За законом Гука

 .

Після підстановки у формулу потенціальної енергії одержуємо:

.

Висновок: Потенціальна енергія пружно деформованого стрижня пропорційна квадратові абсолютної деформації.

При деформації зсуву будь–яка пряма, спочатку перпендикулярна до шарів, повертається на деякий кут .

Деформація зсуву характеризується відносним зсувом, що визначається зі співвідношення:

.

Дослід показує, що відносний зсув пропорційний тангенціальній напрузі:

,

де G – коефіцієнт, який називаний модулем зсуву. Він визначає пружні властивості речовини.

Фізичні властивості G: модуль зсуву дорівнює тангенціальній напрузі, при якому кут зсуву дорівнює 45.

Рівняння нерозривності струменя. Закон Бернуллі.

Розглянемо потік рідини, густина якої не залежить від тиску. Нехай швидкість потоку . Лінії, дотичні до яких у кожній крапці збігаються за напрямком з вектором швидкості, називаються лініями струму. Поверхня, яка утворена лініями струму, що проведені через усі точки замкнутого контуру, називають трубкою струму. При стаціонарній течії рідини її частинки, що рухаються, не перетинають трубку струму.

Нехай рідина тече усередині деякої трубки струму, причому швидкість руху частинок у всіх точках довільного перетину даної трубки однакова. Тоді за проміжок часу t крізь перетину площі S пройде об’єм рідини Svt. Оскільки рідина нестислива, маса рідини між перетинами S₁ і S₂ трубки струму буде залишатися незмінною. Виходить, що об’єм рідини, який протікає крізь перетини S₁ і S₂ за час t, повинний бути однаковим. Звідси випливає, що S₁v₁ = S₂v₂. Іншими словами, для нестисливої рідини величина Sv у будь–якому перетині однієї і тієї ж трубки струму однакова:

.

Отримане рівняння називають рівнянням нерозривності струменя.

Розглянемо стаціонарну течію ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння. Виділимо думкою частину рідини, що у момент t заповнює об’єм вузької трубки струму між нормальними перетинами 1 і 2. До моменту t+t ця частина рідини переміститься уздовж трубки струму і виявиться між перетинами і 2'.

Згідно закону збереження енергії, збільшення повної механічної енергії цієї частини рідини за час t:

,

де – робота, яку виконують сили тиску.

Ця робота дорівнює:

.

Відповідно з рівнянням нерозривності струменя – об’єм рідини, що пройшов через перетини і за час t. Тоді останнє рівняння приймає вигляд:

.

Збільшення енергії Е розглянутої рідини можна представити як різницю енергій елементів і :

.

Дорівнявши формули роботи сторонніх сил і збільшення енергії, одержимо:

.

Оскільки перетини 1 і 2 узяті довільно, можна записати:

–рівняння Бернуллі.

Перший доданок являє собою тиск, обумовлений потоком рідини, що рухається. Його називають гідродинамічним. Другий доданок – зовнішній тиск, третій – гідростатичний тиск надлишкового стовпа рідини.

Висновок: При стаціонарній течії рідини повний тиск у будь–якому перетині трубки струму є величиною сталою.