- •Бабенко м. О.
- •Тема 4. Механіка твердого тіла.
- •Тема 5. Закони збереження.
- •Тема 6. Механічні коливання.
- •Тема 7. Механічні хвилі.
- •Тема 8. Спеціальна теорія відносності.
- •Тема 1. Вступ до молекулярної фізики і термодинаміки.
- •Тема 7. Властивості реальних газів, рідин, твердих тіл.
- •Тема 8. Фазові переходи.
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Кінематика обертального руху.
- •Використання законів динаміки для знаходження прискорення точки
- •Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 3 Динаміка руху точки по колу. Рух тіла зі змінною масою Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Закон збереження механічної енергії.
- •Консервативні і неконсервативні сили
- •Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 5 Закон збереження імпульсу. Теорія пружних і непружних зіткнень Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 6 Динаміка обертального руху тіла. Умови рівноваги тіла Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Механічні властивості твердих тіл. Закон Гука.
- •Елементи гідродинаміки. Закон Бернуллі
- •Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 8 Перший закон термодинаміки. Внутрішня енергія і засоби її зміни. Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 9 Теплові двигуни та холодильні машини Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Тема 10 Основне рівняння мкт. Явища переносу Теоретичні відомості
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклади розв’язування задач
- •Питання до заліку
- •Правила оформлення контрольної роботи
- •Завдання до контрольної роботи
- •Список рекомендованої літератури
Задачі для самостійного розв’язування
Частинка рухається по колу радіус якого R=10 см, зі швидкістю v=10 м/с. Визначити середнє значення шляхової швидкості і модуль вектора середньої швидкості переміщення частинки за час руху t=3,14 с.
Кут повороту радіуса-вектора частинки, що рухається по колу радіуса R=10 см, визначається рівнянням , де А=1 рад/с; В=2 рад/с; С=3 рад. Визначити за перші=2 с руху: шлях s, який пройшла частинка; максимальні кутову швидкість ωmax і прискорення εmax; кут α між векторами повного і тангенціального прискорень частинки.
Локомотив з вагонами рухається зі сталою швидкістю v1=0,2 м/с. Якою має бути сила тяги FT локомотива, якщо вагон завантажується гірською породою зі швидкістю μ=800 кг/с? Втрати механічної енергії під час руху не враховувати.
Електровоз штовхає два вагони, маса яких m=m=60 т, надаючи їм прискорення а=0,1 м/с². Коефіцієнт опору μ=0,005. P якими силами F і F стиснуті пружини буферів між вагонами та між електровозом і вагоном.
З яким максимальним прискоренням може рухатись автомобіль, якщо коефіцієнт тертя між резиною та бетоном ƒ=0,7?
Обчислити нормальне an і тангенціальне прискорення тіла, яке кинуто з початковою швидкістю=10 м/с під кутом α=30° до горизонту, через =0,7 с з початку польоту. В яких точках траєкторії ці прискорення будуть найбільшими і чому дорівнюватимуть?
Точка рухається по колу зі швидкістю , де =1 м/с². Визначити її повне прискорення а після того, як вона зробить повний оберт.
Уздовж похилої площини, що утворює з горизонтом кут α, підіймають тіло. Коефіцієнт тертя становить ƒ. Під яким кутом β до похилої площини треба спрямувати силу, щоб вона була найменшою.
Яким має бути мінімальний коефіцієнт тертя ƒ між шинами коліс і дорогою, щоб велосипедист зміг рухатися вгору по дорозі з нахилом 0,02 (нахил – синус кута нахилу дороги до горизонту) з прискоренням а=0,2 м/с².
Тема 3 Динаміка руху точки по колу. Рух тіла зі змінною масою Теоретичні відомості
Нехай частинка А, що має імпульс , рухається по дузі кола навколо точки О. Положення точки характеризується радіус-вектором , який спрямований до точки А з точки О. Моментом імпульсу частинки А відносно точки О називають вектор , який дорівнює векторному добутку векторів і :
.
Напрямок вектора обраний так, що обертання навколо точки О в напрямку вектора і вектор утворять правогвинтову систему. Модуль вектора дорівнює:
,
де – кут між векторами і , – плече вектора щодо точки О.
Знайдемо величину, яка відповідає за зміну вектора в даній системі відліку. Для цього продиференціюємо формулу моменту імпульсу за часом:
.
Так як точка О нерухома, то вектор дорівнює швидкості частинки, тобто збігається за напрямком з вектором , тому
.
Відповідно з другим законом Ньютона
,
де – рівнодіюча всіх сил, прикладених до частинки.
Отже,
.
Моментом сили щодо вісі обертання О називається векторна фізична величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора і сили, що діє на точку:
.
Напрямок і модуль вектора визначається так само, як і :
,
де – плече сили .
Рівняння моментів: швидкість зміни моменту імпульсу частинки відносно деякої точки О обраної системи відліку дорівнює моменту рівнодіючої сили відносно тієї ж точки О:
.
Якщо система відліку є неінерціальною, то момент сили містить у собі як момент сил взаємодії, так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки О).
Момент імпульсу і момент сили відносно вісі. Візьмемо в деякій системі відліку довільну нерухому вісь Z. Нехай щодо деякої точки О на вісі Z момент імпульсу частинки А дорівнює , а момент сили, що діє на частинку, . Моментом імпульсу відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О даної вісі. Моментом сили відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О на вісі. Рівняння моментів у проекціях на вісь Z буде мати вигляд:
.
Знайдемо аналітичні вирази для проекцій моменту імпульсу і моменту сили. Для цього знайдемо проекцію на вісь Z векторних добутків і . Скористаємося циліндричною системою координат , , z, зв'язавши з точкою А орти , які спрямовані убік зростання відповідних координат. У цій системі координат радіус-вектор і імпульс частинки зображаються так:
, ,
де р, p, рz – проекції вектора на відповідні орти.
З векторної алгебри відомо, що векторний добуток може бути представлено визначником:
, ,
відкіля одержуємо формули для проекцій моменту імпульсу і моменту сили на вісь Z:
, ,
де – найкоротша відстань частинки від вісі Z. Так як проекція імпульсу частинки на орт дорівнює , а , то в остаточному підсумку вираз для моменту імпульсу здобуває вигляд:
.
Моментом інерції точки відносно довільної вісі обертання називається фізична величина, яка дорівнює добутку маси точки на квадрат найкоротшої відстані від вісі обертання до лінії, уздовж якої спрямований вектор імпульсу:
.
З урахуванням останнього визначення формула для моменту імпульсу здобуває вигляд:
.
Продиференціюємо останнє рівняння за часом:
або
.
Отримане рівняння є другим законом Ньютона для руху точки по колу. У векторній формі воно має вигляд:
.
Розглянемо випадок, коли в процесі руху маса матеріальної точки змінюється. Нехай у деякий момент часу t маса тіла, що рухається, m і її швидкість . Через деякий час маса змінюється на , а швидкість збільшиться на . При цьому маса , що відокремилася, має швидкість щодо даного тіла. За ІІ законом Ньютона:
,
де – рівнодіюча зовнішніх сил, що діють на тіло.
Зв'яжемо ІСВ з тілом у момент часу t. В обраній СВ тіло в момент початку спостереження знаходиться в стані спокою. Визначимо зміну імпульсу системи тіл:
, .
Розділимо отриманий вираз на dt:
.
Так як , то після відповідної заміни одержуємо:
.
Отримане рівняння називають основним рівнянням динаміки точки змінної маси або рівнянням Мещерського. – реактивна сила, яка виникає внаслідок дії на тіло маси, що відокремлюється або приєднується. Після замін одержуємо основне рівняння динаміки при русі тіла змінної маси:
Окремі випадки застосування основного рівняння динаміки:
нехай . У цьому випадку і основне рівняння динаміки приймає вигляд:
;
нехай система замкнена :
, ,.
Якщо у момент часу t тіло не рухається, то
, і – формула Ціолковського.
З формули Ціолковського випливає, що швидкість ракети спрямована протилежно швидкості вильоту газів (при ), не залежить від часу згоряння палива, а визначається тільки відношенням початкової маси ракети до маси, що залишилася.