Задачі для самостійного розв’язування

1. Обчислити роботу А, що виконується на шляху s=10 м рівномірно зростаючою зі шляхом силою, якщо на початку руху сила становила F=10 Н, а наприкінці руху F=40 Н. Кут між елементами шляху і вектором сили дорівнює нулю.

2. Автомобіль, маса якого m=1000 кг, починає рухатись по колу радіуса R=100 м з тангенціальним прискоренням а=1 м/с. Обчислити роботу А двигуна, яку він виконує за один оберт автомобіля по колу. Середній коефіцієнт опору ƒ=0,3.

3. Яку роботу А треба виконати, щоб витягти тіло масою m=2 кг на гірку, довжина основи якої l=1 м, а висота h=0,5 м, якщо коефіцієнт тертя ƒ=0,2? Кут нахилу поверхні гірки до горизонту може змінюватись, але його знак залишається тим самим.

4. Навантажені санки масою m=100 кг спускаються з гори і далі ковзають по горизонтальній поверхні льоду. Яку відстань s пройдуть санки по льоду, якщо біля підніжжя гори вони досягнуть швидкості V=0,5 м/с? Коефіцієнт тертя ƒ=0,035. Яка робота А проти сил тертя виконується при цьому?

5. Тіло масою m=0,5 кг ковзає з гірки, довжина якої l=2 м, а висота h=1 м. Після того, як тіло з’їхало до основи гірки, з’ясувалося, що воно виконало роботу А=4,4 Дж. Визначити коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею гірки.

6. Із вагона, що рухається зі швидкістю V=3,6 км/год, вивантажується гірська порода зі швидкістю μ=14000 кг/с. Визначити розвинену при цьому потужність Р гальмування локомотива. Силою опору нехтувати.

7. Вертоліт масою m нерухомо висить у повітрі. Яку потужність Р розвивають двигуни вертольота, якщо швидкість повітря, що відкидають лопаті гвинта вниз, дорівнює V?

8. На столі лежить гнучка мотузка, одна п’ята довжини якої вільно звисає. Яку роботу потрібно виконати, щоб витягнути цю частину мотузки на стіл? Довжина мотузки l=1 м, а її маса m=1 кг. Тертям нехтувати.

9. На столі лежить гнучка мотузка, маса якої m=1 кг, а довжина l=2 м. Якщо чверть довжини (η=0,25) мотузки звісити зі стола, то вона почне зісковзувати з нього. Яку роботу А виконає сила тертя, що діє на мотузку при її повному зісковзуванні зі столу?

10. Кулька масою m=0,01 кг, що має швидкість V=500 м/с, пробиває кулю масою m=5 кг, яка висить на нитці. При цьому швидкість кульки зменшилася до V=100 м/с. Яка частина η енергії кульки перейшла в теплоту?

Тема 5 Закон збереження імпульсу. Теорія пружних і непружних зіткнень Теоретичні відомості

Розглянемо довільну систему частинок. Частинки системи можуть взаємодіяти як між собою, так і з тілами, що не входять у систему. Сили взаємодії між частинками системи називаються внутрішніми. Сили, які обумовлені дією тіл, що не входять у систему, називаються зовнішніми.

Імпульсом системи тіл називають векторну суму імпульсів окремих тіл, що входять у систему:

.

Знайдемо фізичну величину, що визначає зміну імпульсу системи тіл. Для цього продиференціюємо останню формулу за часом:

.

Але за другим законом Ньютона

,

де – сума усіх внутрішніх сил, що діють на і-у частинку з боку інших частинок, – рівнодіюча зовнішніх сил, які діють на і-у частинку.

Підставивши останній вираз у попереднє рівняння, одержимо:

.

Перший доданок в отриманій формулі – сума усіх внутрішніх сил. Але за третім законом Ньютона усі внутрішні сили однакові за модулем і протилежні за напрямком, тому рівнодіюча усіх внутрішніх сил дорівнює нулю:

.

В остаточному підсумку останній вираз приймає вигляд:

.

Система частинок називається замкнутою, якщо на її не діють зовнішні сили або дія зовнішніх сил компенсується. З урахуванням останнього визначення одержуємо:

, .

Закон збереження імпульсу: Імпульс замкнутої системи частинок не змінюється при будь-якім переміщенні частинок усередині системи.

Замкнуту систему, у якій немає дисипативних сил, називають консервативною.

Закон збереження механічної енергії: У замкнутій системі при відсутності дисипативних сил повна механічна енергія не змінюється:

.

Слід відзначити, що при русі замкнутої консервативної системи зберігається саме механічна енергія Е_вл, кінетична і потенційна в загальному випадку змінюються. Однак ці зміни відбуваються завжди так, що збільшення однієї з них у точності дорівнює збитку іншої:

.

Це положення справедливе тільки в інерціальних системах відліку. Якщо замкнута система не консервативна, то механічна енергія такої системи витрачається на роботу проти дисипативних сил, що діють у системі, тобто зменшується:

.

Якщо система частинок знаходиться в зовнішньому стаціонарному полі консервативних сил, то зовнішні сили, що діють на частинки системи, можна розділити на сили з боку зовнішнього поля (зовнішні сили поля) і всі інші зовнішні сили, що не відносяться до даного зовнішнього поля (зовнішні сторонні сили). Відповідно робота зовнішніх сил може бути представлена як алгебраїчна сума робіт зовнішніх сил поля і зовнішніх сторонніх сил:

.

Але робота зовнішніх сил поля дорівнює збитку зовнішньої потенціальної енергії:

.

Тоді вираз для роботи зовнішніх сил приймає вигляд:

.

Підставивши отримане рівняння у формулу для власної механічної енергії системи тіл, одержуємо:

.

Величину, що знаходиться ліворуч у дужках, називають повною механічною енергією Е системи в зовнішньому стаціонарному полі консервативних сил:

.

На відміну від власної механічної енергії повна механічна енергія містить у собі крім сумарної кінетичної і власної потенціальної енергії ще і потенціальну енергію системи в зовнішньому полі . З урахуванням останнього визначення одержуємо:

.

З останнього рівняння випливає закон збереження повної механічної енергії системи, що знаходиться в зовнішньому стаціонарному полі консервативних сил: якщо на систему частинок не діють зовнішні сторонні сили і немає внутрішніх дисипативних сил, то повна механічна енергія системи не змінюється:

.

Зв'язок між енергіями в К- і Ц-системах відліку. Нехай у К-системі відліку кінетична енергія системи частинок дорівнює К. Швидкість і-ї частинки можна визначити за формулою:

,

де – швидкість і-ї частинки в СВ, яка зв'язана з центром мас, – швидкість центра мас відносно К– системи. Тоді кінетична енергія системи може бути представлена в такому вигляді:

або

.

Так як в Ц-системі центр мас не рухається, то

і попередній вираз приймає вигляд:

.

Теорема Кёніга: Кінетична енергія системи частинок дорівнює сумі кінетичної енергії частинок у Ц-системі і кінетичній енергії, яка зв'язана з рухом Ц-системи.

Теорія пружних і непружних зіткнень. Непружним називають зіткнення, у результаті якого внутрішня енергія частинок, що розлітаються, змінюється, а отже, змінюється і сумарна кінетична енергія системи. Відповідне збільшення кінетичної енергії системи прийнято позначати Q. Абсолютно непружним називають зіткнення, у результаті якого обидві частинки "злипаються" і далі рухаються як єдине ціле. Нехай дві частинки, маси яких m₁ і m₂ мають до зіткнення швидкості і . Після зіткнення утворюється частинка з масою , що випливає з умови адитивності маси в механіці. Швидкість частинки, що утворилася, можна знайти з закону збереження імпульсу: . Зміну кінетичної енергії системи знайдемо із закону збереження енергії:

.

Абсолютно пружним називають зіткнення, у результаті якого внутрішня енергія частинок не змінюється, а тому не змінюється і кінетична енергія системи. Нехай частинки масами m₁ і m₂ мають до зіткнення швидкості і . Після абсолютно пружного удару швидкості частинок будуть і відповідно. Закон збереження імпульсу і кінетичної енергії при цьому мають вигляд:

.

Розв’язуючи отриману систему рівнянь, визначають швидкості частинок після зіткнення.