Задачі для самостійного розв’язування

1. Кулька, що прикріплена до нитки, довжина якої l=1 м, описує коло на горизонтальній площині. Який кут φ утворює нитка з вертикаллю, якщо частота обертання n=0,6 с^–1?

2. Літак виконує «мертву петлю» радіуса R=1 км. Визначити вагу P льотчика, маса якого m=70 кг, у момент коли швидкість літака V=720 км/год, а вектор швидкості v утворює кут α=45º з горизонталлю.

3. Велосипедист рухається зі швидкістюV=10 м/с по закругленню дороги радіуса R=15 м. Обчислити кут α нахилу велосипедиста до вертикалі, а також найменший коефіцієнт тертя ƒ між шинами велосипеда і дорогою, за яких забезпечується стійкість велосипедиста.

4. Тонка сферична оболонка, маса якої m=10 кг і радіус R=1 м, обертається з частотою ν=10 снавколо своєї осі симетрії. Визначити момент імпульсуL оболонки відносно цієї осі.

5. Визначити прискорення а вантажів і сили натягу Т ниток в системі, зображеній на рисунку, якщо m=2 кг, m=3 кг, R=20 см, R=10 см. Момент інерції східчастого блока відносно його осі I=0,05 кг·м². Нитки невагомі.

6. Посудина з рідиною обертається з частотою 2 об/с навколо вертикальної осі. Поверхня рідини має вигляд лійки. Чому дорівнює кут нахилу поверхні рідини в точках, що лежать на відстані r = 5 см від осі?

7. Літак масою 2,5 т рухається зі швидкістю 400 км/год. Він робить у горизонтальній площині віраж (віраж – політ літака по дузі кола з деяким кутом крену). Радіус R траєкторії літака дорівнює 600 м. Знайти поперечний кут нахилу літака і підйомну силу F крил під час польоту.

8. Тонке однорідне мідне кільце радіусом R = 10 см обертається навколо осі, що проходить через центр кільця, з кутовою швидкістю 10 рад/с. Визначити нормальну напруга, що виникає в кільці в двох випадках: 1) коли вісь обертання перпендикулярна площі кільця і 2) лежить у площі кільця. Деформацією кільця при обертанні знехтувати.

9. Конічний маятник, маса якого m=50 г, підвішений на нитці завдовжки l=50 см і обертається з кутовою швидкістю ω=π рад/с, описуючи конус з кутом розхилу θ=60º. Визначити момент імпульсу L маятника відносно точки підвісу і вказати його напрям у просторі.

Тема 4

Закон збереження механічної енергії.

Консервативні і неконсервативні сили

Теоретичні відомості

Нехай під дією сили частинка зробила переміщення по деякій траєкторії 1-2. Будемо вважати в межах переміщення силу постійною.

Елементарною роботою сили по переміщенню називається фізична величина, яка дорівнює скалярному добутку сили на переміщення :

або

,

де – кут між векторами і .

Робота – величина алгебраїчна, в залежності від кута вона може приймати позитивне значення, негативне чи бути рівною нулю. Проінтегрував вираження механічної роботи для ділянки 1-2, визначаємо роботу сили на усій ділянці:

.

Одиниці виміру механічної роботи в системі СІ: .

Геометрична інтерпретація механічної роботи: Розглянемо графік проекції сили на напрямок як функцію положення частинки на траєкторії. З рисунку випливає, що елементарна робота А чисельно дорівнює площі заштрихованої смужки, а робота А на шляху від точки 1 до точки 2 – площі фігури, обмеженої кривої, ординатами 1 і 2 і віссю s. При цьому площа фігури над віссю s береться зі знаком плюс (вона відповідає позитивній роботі), а площа фігури під віссю s – зі знаком мінус (вона відповідає негативній роботі).

Робота пружної сили. Згідно закону Гука

,

де – радіус-вектор частинки М щодо точки О.

Перемістимо частку М, на яку діє ця сила, по довільному шляху з точки 1 у точку 2. Елементарна робота на цьому шляху визначається з виразу:

.

Скалярний добуток

,

де – проекція вектора на напрямок .

Упідсумку одержуємо:

.

Повна робота при переміщенні з 1 у 2:

або .

Робота однорідної сили тяжіння.

Запишемо силу тяжіння у вигляді

,

де – орт вертикальної вісі Z, спрямованої вгору.

Елементарна робота сили тяжіння при переміщенні :

.

Скалярний добуток

,

де – проекція на орт k, яка дорівнює dz – збільшенню координати z.

Тому і . Робота даної сили на всьому шляху від точки 1 до точки 2:

Робота гравітаційної сили.

Нехай точка М знаходиться в гравітаційному полі, центр якого зосереджений у точці О. Знайдемо роботу гравітаційної сили при переміщенні точки з положення 1 у положення 2. У гравітаційному полі на точку М діє сила, яка за законом Всесвітнього тяжіння дорівнює:

.

Елементарна робота цієї сили на переміщення :

.

Скалярний добуток , тобто дорівнює збільшенню модуля вектора , тому:

.

Повна робота цієї сили на всьому шляху від точки 1 до точки 2:

.

Як видно з отриманої формули, робота розглянутих сил не залежить від форми шляху між точками 1 і 2, а залежить тільки від положення цих точок, при цьому по замкнутій траєкторії робота дорівнює нулю. Сили, які володіють такими властивостями, називають консервативними, а поля, у яких діють ці сили – потенціальними. До неконсервативних сил відносять сили тертя та опору, робота яких залежить від пройденого шляху і по замкнутій траєкторії не дорівнює нулю.

Якщо на частинку в процесі руху діють декілька сил, то робота результуючої сили на деякім переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт окремих сил:

.

Потужність – це фізична величина, що характеризує швидкість виконання механічної роботи. Вона дорівнює роботі, яка виконується за одиницю часу. Якщо за час dt силою виконана робота А, то потужність сили визначається за виразом: . Так як і , то після відповідних замін одержуємо формулу миттєвої потужності: або . Одиниці потужності в СІ: .

Поле центральних сил. Потенціальна і кінетична енергії.

Усяке силове поле викликається дією деяких тел. Сила, що діє на частинку в такім полі, обумовлена взаємодією цієї частинки з даними тілами. Сили, що залежать тільки від відстані між взаємодіючими частинками і спрямовані по прямій, що проходить через ці частинки, називають центральними. Центральну силу, що діє на частинку М з боку частинки О, можна представити у вигляді: , де f(r) – функція, що залежить при даному характері взаємодії тільки від г – відстані між частинками; – одиничний вектор, що задає напрямок радіуса-вектора частинки М щодо частинки О. Центральні сили є консервативними, тобто їхня робота не залежить від шляху, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла. По замкнутій траєкторії робота консервативних сил дорівнює нулю. Можна припустити, що робота консервативних сил є функцією радіуса-вектора точки: . Функцію U(r) називають потенціальною енергією частинки в даному полі. Знайдемо роботу сил поля при переміщенні частинки з точки 1 у точку 2. Так як робота не залежить від шляху, виберемо шлях, що проходить через точку О. Тоді робота на шляху 1О2 може бути представлена у вигляді: А₁₂=А_1О+А_О2=А_1О–А_2О, або з урахуванням потенціальної енергії: А12=U1–U2.

З останньої формули випливає, що робота консервативних сил на шляху 1 – 2 дорівнює збитку потенціальної енергії частинки в даному полі. Отримане вираження дозволяє знайти потенціальну енергію для будь-якого стаціонарного поля консервативних сил:

• потенціальна енергія сили пружності:

;

• потенціальна енергія однорідної сили тяжіння:

;

• потенціальна енергія гравітаційного поля:

.

Нехай частинка масою m рухається під дією деяких сил із прискоренням . Визначимо роботу рівнодіючої сили по переміщенню точки. За формулою механічної роботи . Так як і , то після підстановки одержуємо:

.

Але

,

де (dv)_v – проекція вектора dv на напрямок v. Ця проекція дорівнює збільшенню модуля вектора швидкості dv. У підсумку одержуємо: . Повна робота сили при збільшенні швидкості точки від v₁ до v₂ дорівнює:

.

Як видно з останньої формули, робота рівнодіючої сили дорівнює збільшенню деякої величини, яка називається кінетичною енергією.

Кінетичною енергією називається фізична величина, яка дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат її швидкості:

.

Теорема про кінетичну енергію: Робота рівнодіючої сили, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла:

.

Якщо частинки знаходяться в потенційному полі, то всі сили, що діють на неї можна розбити на консервативні і сторонні сили, що не мають відношення до даного поля. Таким чином, зміна кінетичної енергії дорівнює:

.

Але робота консервативних сил дорівнює збитку потенціальної енергії:

.

Після відповідних підстановок одержуємо:

, і .

Суму кінетичної і потенціальної енергії називають повною механічною енергією частинки в поле:

.

Після заміни одержуємо:

.

Висновок: Збільшення повної механічної енергії частинки на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі роботи усіх сторонніх сил, що діють на точку на цьому шляху.

Розглянемо систему з двох частинок 1 і 2. Визначимо алгебраїчну суму елементарних робіт сил F₁ і F₂, з якими ці частинки взаємодіють. Нехай у довільної К'- системі відліку за час dt частинки зробили переміщення і . Тоді відповідна сума робіт цих сил

.

За третім законом Ньютона . В підсумку отримаємо:

.

Величина в дужках являє собою переміщення частинки 1 щодо частинки 2, точніше, переміщення частинки 1 у K'- системі відліку, жорстко зв'язаною з частинкою 2 і переміщається разом з нею поступально відносно К – системи відліку. Відповідно до закону додавання переміщень і . З отриманої формули випливає, що алгебраїчна сума елементарних робіт пари сил взаємодії в довільної K' – системі відліку дорівнює елементарній роботі, яку виконує сила, що діє на одну частинку, у системі відліку, де інша частинка спочиває. Інакше кажучи, робота не залежить від вибору вихідної К- системи відліку.

Сила , що діє на частинку 1 з боку частинки 2, є центральною, а отже і консервативною. Тому робота даної сили може бути представлена як збиток потенціальної енергії частинки 1 у поле частинки 2 чи як збиток потенціальної енергії взаємодії розглянутої пари частинок:

,

де U₁₂ – функція, що залежить тільки від відстані між цими частинками. На всьому шляху . Якщо система складається з N частинок, то робота, що виконують усі сили взаємодії при переміщенні всіх частинок, може бути представлена як алгебраїчна сума робіт усіх пар сил взаємодій:

А =А₁₂ + А₂₃ + А₁₃+…

Але для кожної пари цих сил A_ik = –U_ik, тому:

,

де U_вл – власна потенційна енергія системи частинок: .

Так як кожен доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними частинками, то очевидно, що власна потенційна енергія даної системи залежить від відносного розташування частинок, тобто від конфігурації системи. Кожній конфігурації системи частинок належить своє значення власної потенціальної енергії і робота усіх внутрішніх центральних консервативних сил при зміні цієї конфігурації дорівнює збитку власної потенціальної енергії системи:

.

Відповідно до теореми про кінетичну енергію, збільшення кінетичної енергії кожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що діють на частинку. Тому роботу А, яку виконують усі сили, що діють на всі частинки системи при зміні її стану, можна записати так:

або

,

де К – сумарна кінетична енергія системи.

Висновок: збільшення кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку виконують усі сили, що діють на всі частинки системи: .

Власна механічна енергія системи частинок дорівнює алгебраїчній сумі кінетичної і власний потенціальної енергій системи:

.

Розділимо всі сили, що діють у системі, на зовнішні і внутрішні, а внутрішні на консервативні і дисипативні, Тоді теорему про кінетичну енергію можна переписати в такому вигляді:

.

Так як робота внутрішніх консервативних сил дорівнює збитку власної потенціальної енергії системи, останнє рівняння можна переписати у вигляді:

.

Закон зміни повної механічної енергії системи тіл: Збільшення власної механічної енергії системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх сил і усіх внутрішніх дисипативних сил.