- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
Необхідні відомості: 1. Означення рівняння другого порядку у частинних похідних. Типи рівнянь.
2. Формула Даламбера.
Задачі.
Привести до канонічного виду
1.1
1.2 . Спростити рівняння з постійними коефіцієнтами.
2.1 Знайти розв’язок
2.2 Знайти форму струни, визначеною рівнянням у момент, якщо
2.3 Знайти форму струни, визначеною рівнянням ,
якщо ,
у момент
2.4 Знайти відхилення точки х=1 струни () у довільний момент часувід положення спокою, якщо у моментструна знаходилась у спокої, а точках=0 рухається за законом .
Задачі для самостійної роботи.
Привести до канонічного виду
1. . 2.. 3..
4. .
5. .
Знайти розв’язок
6. .
7. .
8. Знайти форму струни, визначеною рівнянням .
9. Розв’язати задачу 2.4 при умові .
10. Розв’язати рівняння
.
11. Розв’язати рівняння
.
12. Розв’язати рівняння
.
13. Розв’язати рівняння
.
Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
Розглянемо задачу Коши
.
Використовуючи формулу Даламбера (дивіться докладно[5]), нескладно отримати розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовим початковим умовам, у вигляді:
.
Тоді розв’язок вихідної задачі має вид:
.
У випадку задачі
,
враховуючи все вищевказане, отримаємо
Із отриманих формул випливає існування і однозначність розв’язку задач.
2. Метод розділення змінних.
Розглянемо задачу для скінченої струни.
Спочатку знайдемо розв’язок наступної крайової задачі
Розв’яжемо допоміжну задачу: знайти розв’язок такий, що,
і постає у вигляді .
Підставивши у рівняння отримаємо
або
Для іТ отримаємо звичайні диференційні рівняння:
Граничні умови дають Звідки.
Таким чином, для знаходження треба розв’язати задачу про власні значення.
Знайти ті , при яких існує розв’язок задачі:
Сформульована задача називається задачею Штурма-Лиувилля.
При
, тобто і, отже.
2. При
При
тобто нетривіальний розв’язок можливий при . Отже придеАп – довільна константа.
Цим же значенням відповідає розв’язок рівняння
, де- довільні коефіцієнти.
Тоді, повертаючись до початкової здачі отримаємо, що функція
- частинні розв’язки рівняння, що задовольняють нульвим граничним умовам.
Для знаходження розв’язку початкової крайової задачі зазначимо, що в силу лінійності рівняння, - задовольняє рівнянню і нульовим граничним умовам, отже
. Знайдемо івраховуючи початкові умови.
, тобто
.
Зауваження 1. Звісно є розв’язком коли відповідні ряди длязбігаються. В силу властивостей коефіцієнтів Фур’є всі ряди (для) у загальному випадку сходяться, якщомає частково-неперервну похідну 3-го порядку, амає частково-неперервну похідну 2-го порядку іі значить– коректно визначений розв’язок, що задовольняє теорему єдиності.
Зауваження 2. - власні частоти коливань струни, або оскількито(Т – величина натягу, - щільність струни).
- основний тон, решта - обертони. Приведені формули визначають частоту і, відповідно, період основного коливання, пояснюють наступні закони коливання струни, відкриті вперше експериментально (Мерсен)
Для струн однакової щільності і однакового натягу період коливання струни пропорційно її довжині.
При заданій довжині період змінюється обернено пропорційно кореню квадратному з натягу.
При заданій довжині і натягу період змінюється пропорційно кореню квадратному з щільності.
Більш детально про додатки до теорії звуку дивіться [5].