- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
3.Загальний випадок лінійного рівняння.
В розглянутому рівнянні φ не входить в Хі і права частина дорівнювала 0.
Розглянемо рівняння
де Yі містить х1,х2,…,хп,φ. Будемо шукати сімейство розв’язків у вигляді неявної функції w(x1,…,xn,φ)=c.
Згідно з диференціювання неявної функції підставивши в рівняння отримаємокотре має вид розглянутий вище.
В силу довільних змінніх1,…,хп,φ можуть мати будь-які значення і останнє рівняння має тотожно виконуватись відносно х1,…,хп,φ. Якщо w знайдено, то рівняння w(х1,…,хп,φ)=0 визначає φ.
Приклад.
Розглянемо w(x,y,φ)=c. Відносно w рівняння прийме вигляд
.
Тоді, з попереднього приклада маємо w(x,y,φ)=, де F – довільна функція. Рівність визначаєφ(x,y).
Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
Необхідні відомості: 1. Означення розв’язку та загального інтеграла системи рівнянь.
2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
Задачі.
1.1
а)Розв’язати за допомогою метода виключення.
б) Розв’язати допомогою матриць.
1.2
1.3
2.1 . Знайти загальний інтеграл.
2.2 Знайти поверхню яка задовольняє рівняння , що проходить через окіл
Задачі для самостійної роботи.
Розв’язати методом виключень.
1. . 2.. 3..
4.. 5.. 6..
7..
Розв’язати за допомогою матриць
8. . 9.. 10..
11. Знайти загальний інтеграл .
12. Знайти загальний інтеграл .
13. Знайти поверхню, що задовольняє рівняння та проходить через параболу.
Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
Означення. Співвідношення , дех, у незалежні змінні, а и, ,функція від х,у, та її частинні похідні, називається рівняння у частинних похідних другого порядку з двома невідомими.
Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вид:
, де а11,а21,а22 – функції від х,у.
Рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне відносно всіх похідних
,
де коефіцієнти – функції від х,у.
Якщо f(x,y)=0, то рівняння називається однорідним.
2.Класифікація рівнянь.
За допомогою перетворень ξ=φ(х,у) η=ψ(х,у) (що має обернене) ми отримаємо нове рівняння еквівалентне даному. Спробуємо спростити рівняння за допомогою переходу до нових змінних.
Враховуючи що:
ux=u ξ ξx+u η ηx
uy= u ξ ξy+u η ηy
uyy – має вигляд uхх при заміні х на у.
Підставивши в рівняння (*), отримаємо:
при цьому як іне залежать від других похідних (в випадках лінійного рівняння воно залишається лінійним).
Виберемо ξ та η, щоб .
Розглянемо рівняння з частковими похідними першого порядку . Якщо- який-небудь розв’язок цього рівняння, то припускаючиотримаємо, що, тобто спрощене рівняння другого порядку зв’язано з розв’язком рівняння першого порядку.
Теорема. Якщо розв’язок рівняння (**), то- загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння.
Навпаки, якщо загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння, то функція- розв’язок диференційного рівняння в часткових похідних першого порядку (**).
Доведення. Якщо - розв’язок рівняння (**), то рівність являється тотожністю:
Розглядаючи співвідношення маємо, щоу – неявно задана функція і.
Підставивши в тотожність отримаємо:
,
тобто - загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння.
Нехай тепер - загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння. Покажемо, що.
Нехай яка-небудь точка. Проведемо черезінтегральну криву звичайного диференційного рівняння, припускаючи щоі розглянемо криву. Для всіх точок цієї кривої
.
Припускаючи що отримаємо
, а оскільки - довільна точка то рівність виконується для всіх (х,у). Що і треба було довести.
Означення. Рівняння називається характеристичним для диференційного рівняння другого порядку в частинних похідних, а його інтеграли – характеристиками.
Припустимо (φ – загальний інтеграл характеристичного рівняння) ми отримаємо, що. Якщоявляється іншим загальним інтегралом (незалежним від φ), то припускаючи щоми отримаємо, що і.
Очевидно, що характеристичне рівняння розпадається на два рівняння
(***)
.
Знак підкорінного виразу визначає тип рівняння
.
1. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням гіперболічного типу.
2. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням еліптичного типу.
3. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням параболічного типу.
Розглянемо кожну ситуацію окремо.
1. , тоді праві частини (***) дійсні і різні. Розв’язуючи рівняння (***) отримаємо незалежні загальні інтегралита. Припускаючиприводимо рівняння другого порядку до виду.
Припускаючи , денові змінні і враховуючи, що,, рівняння набуває вигляду.
2. , тоді рівняння (***) має один розв’язок. Покладемота- довільна функція. Тоді
.
Таким чином, рівняння другого порядку прийме вид .
3. . Нехай- комплексний інтеграл першого рівняння (***). Тоді- інтеграл спряженого рівняння 2 з (***). Покладемо
тоді еліптичне рівняння приводяться до того ж виду що й гіперболічне. Замінимо тобто. Вводячи заміну, отримаємо рівняння.
Отже, рівняння другого порядку у частинних похідних з двома змінними (за допомогою заміни незалежних змінних) завжди можна привести до одного з трьох канонічних виглядів:
1. (гіперболічний тип)або
2. (еліптичний тип)
3. (параболічний тип)
Зауваження. Подібна класифікація має місце і для рівнянь другого порядку з багатьма змінними.
Приклад. Привести до канонічного виду .
а11=1, а12=0, а22=х і.
1. Якщо х>0 рівняння еліптичне.
2. Якщо х<0 рівняння гіперболічне.
3. Якщо х=0 рівняння параболічне.
1. х>0,
. Отже .
Тоді і
,
Підставивши в рівняння отримаємо:
, або
- еліптичне рівняння
2. х=0 у=с. Отже .
Тоді - довільна і
,
Рівняння прийме вид (після заміни)
(в х=0), - параболічне рівняння.
Випадок 3 аналогічний 1.
Зауваження. У випадку постійних коефіцієнтів в лінійному рівнянні
після переходу до змінних ξ, η рівняння, якого б виду воно не було, можна спростити, звільнившись від похідних першого порядку, за допомогою заміни де- невизначені коефіцієнти, вибираючи які відповідним чином, (щоб знищити 2 коефіцієнти), отримаємо рівняння виду:
(еліптичне)
(параболічне)