02_Молекулярная_физика

61

Точка в пространстве скоростей определяет проекции скорости υx ,υy ,υz

некоторой молекулы, а расстояние от этой точки до начала осей есть модуль скорости.

υ = υ2x + υ2y + υ2z .

Каждой молекуле в обычном пространстве соответствует одна точка в υ- пространстве. Следовательно, полное число точек NT в υ- пространстве равно числу молекул N в объеме обычного пространства.

NT = N .

Обозначим ρυ - число точек υ- пространства в единичном объеме υ- пространства.

Предположим, что

ρυ(υ)= NTϕ(υ)= Nϕ(υ),

где ϕ(υ)- некоторая неизвестная функция.

Построим в υ- пространстве две сферы радиусами υ и (υ+dυ), dυ << υ. Центры сфер совпадают с началом системы координаты (υx ,υy ,υz ).

Найдем число точек dNT внутри такого слоя толщиной dυ.

dNT = ρυdυm = ρυ4πυ2dυ = NTϕ(υ)4π υ2dυ,

dNT = Ndω(υ)= Nf (υ)dυ ( ).

Запишем

dN = Ndω(υ)= Nf (υ)dυ, ( )

где dN - число молекул, модули скорости которых имеют значения в интервале

(υ,υ+dυ).

Очевидно, что

NT = N , dNT = dN ,

Nϕ(υ)4π υ2dυ = Nf (υ)dυ, f (υ)= ϕ(υ)4π υ2 .

Выделим элементарный объем V- пространства в виде параллелепипеда dVxdVydVz . Число точек в этом элементарном объеме равно

dNT = ρυdVx dVy dVz = Nϕ(V)dVx dVy dVz .

62

Обозначим,

dω(dυxdυydυz ) - вероятность того, что скорость молекул имеет проекции в

интервалах значений (υx ,υx +dυx ), (υy ,υy +dυy ), (υz , υz +dυz ).

dω(υx ), dω(υy ), dω(υz ) - вероятность того, что проекции скорости молекулы имеют значение в интервалах (υx ,υx +dυx ), (υy ,υy +dυy ), (υz , υz +dυz ).

По закону умножения вероятностей

dω(υx , υy , υz )= dω(υx ) dω(υy ) dωz (υz ), dω(υx ,υy , υz )= f (υx ) f (υy ) fz (υz )dυxdυydυz .

Умножим на число молекул N

Ndω(υx , υy , υz )= Nf (υx )f (υy )f (υz )dυxdυydυz ,

dN = Nf (υx )f (υy )f (υz )dυxdυydυz . ( )

С другой стороны

Nϕ(V)dVxdVydVz = Nf (Vx )f (Vy )f (Vz )dVxdVydVz , ϕ(V)= f (Vx )f (Vy )f (Vz ),

f (V)= f (Vx )f (Vy )f (Vz ) 4π V2 .

Итак, получаем для f (V)

65

Найдем значение υс .

Величина υc называется средней квадратичной скоростью.

Распределение Максвелла для относительной скорости

Относительной скоростью молекулы называется величина

U = υ .

υв

Введем два интервала dυ и dU таким образом, что любому значению модуля скорости из интервала (υ, υ + dυ) взаимно однозначно соответствует значение относительной скорости из интервала (U, U + dU). Интервалы dυ и dU называются соответствующими друг другу.

Попадание модуля скорости в интервал (υ, υ+ dυ) и попадание относительной скорости в соответствующий интервал (U, U + dU) этого события, которые имеют одну и ту же вероятность.

dω(υ, υ+ dυ)= dω(U,U + dU).

Запишем вероятности через функции распределения fυ(υ)dυ = fU (U)dU ,

66

Это распределение Максвелла для относительной скорости. Функция f (U) не содержит массы, температуры и поэтому она гораздо удобнее в расчетах.

Распределение молекул идеального газа по модулю скорости

Пусть идеальный газ находится в равновесном состоянии и n - концентрация молекул. Поставим следующую задачу: определить число молекул в единице объема газа, величина скорости, которых имеет значения в

интервале (υ1,υ2 ).

Перейдем к относительным скоростям:

будем искать сначала число молекул, относительные скорости которых имеют значения в интервале (U1,U2 ).

Обозначим dN - число молекул, относительные скорости которых лежат в интервале (U,U +dU).

Очевидно:

dN = Ndω(U,U +dU)= Nf (U)dU .

Интегрируя, получаем искомую величину ∆N

Для того чтобы найти число частиц в единице объема, скорости которых лежат в заданном интервале, разделим обе части ( ) на объем, занимаемый газом V . Обозначим:

Распределение молекул по кинетической энергии

Запишем

где ε- кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Введем два бесконечно малых интервала dυ и dε, которые соответствуют

друг другу. Это означает, что любому значению скорости из интервала (υ,υ+dυ) взаимно однозначно соответствует значение кинетической энергии из интервала (ε,ε + dε). Обозначим вероятность попадания скорости в интервал dω(υ,υ+dυ), а вероятность попадания кинетической энергии в соответствующий интервал dω(ε,ε+dε).

Очевидно, что эти вероятности одинаковы dω(υ,υ+dυ)= dω(ε,ε+dε),

f (υ)dυ = f (ε)dε,

где f (ε) - функция распределения кинетической энергии.

Запишем:

dN = Ndω(ε), dω(ε)= f (ε)dε, dN = Nf (ε)dε,

ε2

∆N = N ∫f (ε)dε.

ε1

68

Распределение Больцмана

Выделим элементарный объем пространства dxdydz . Обозначим dω(x, y,z) - вероятность того, что частицы находятся в элементарном объеме dxdydz , выбранном в окрестности точки с координатами (x, y,z).

Очевидно, что dω(x,y,z) зависит от величины dxdydz и некоторой функции от координат f (x, y,z).

dω(x, y,z)= f (x, y,z)dxdydz . ( )

Очевидно, что f (x, y,z) имеет смысл функции распределения и для нее справедливо условие нормировки

∫f (x, y,z)dxdydz =1.

V

Будем искать функцию f (x, y,z). Умножим ( ) на число частиц N .

N dω(x, y,z)= N f (x, y,z)dxdydz .

Обозначим

N dω(x, y,z)= dN , dxdydz = dV ,

dN = N f (x, y,z)dV .

где dN - число частиц в объеме dV .

dNdV = N f (x, y,z),

м13 , n = N f (x, y,z),

где n - число частиц в единице объема или концентрация частиц. Очевидно, что тогда

f (x, y,z)= Nn .

Рассмотрим идеальный газ, молекулы которого находятся в однородном поле тяжести Земли, т.е. в поле консервативных сил.

69

Выделим столб газа с поперечным сечением площадью dS = dx dy .

В столбе выделим слой газа толщиной dz и площадью оснований dS . Этот слой находится в равновесии. Рассмотрим силы, действующие на слой.

На верхнее и нижнее основание действуют силы давления, сумма

которых равна

Frg = p dS k +(p +dp)dS(−k)= −dp dS k ,

где dp - приращение давления газа при удалении от нижнего основания к верхнему, k - орт оси z .

На каждую молекулу газа действует сила тяжести, которую обозначим F1 .

Обозначим n - концентрация молекул газа. Тогда на все молекулы слоя действует сила тяжести

Fm = F1 ndS dz .

Запишем для слоя второй закон Ньютона:

Fg + Fm = 0 ,

−dpdSk + F1ndSdz = 0 k ,

−dp + F1z ndz = 0 .

Обозначим υ- потенциальная молекула газа в поле тяжести.

Тогда

F1z = − ddzυ ,

−dp − ddzυ ndz = 0 , dp = −ndυ.

Уравнение состояния для идеального газа p = nkT .

Возьмем дифференциал, предполагая, что выполняется условие

T = const , dp = kTdn ,

kTdn = -ndυ, dnn = −kTdυ .

Интегрируем: при T = const , изотермическая атмосфера

Вобщем случае υ- есть функция координат x, y,z .

υ= υ(x, y,z),

n= n0exp - υ(x, y,z) .

kT

Это распределение Больцмана.

Здесь

n0 - концентрация частиц в точках, где υ = 0 .

n - концентрация частиц в точке, где потенциальная энергия частицы равна υ. T - температура системы.