02_Молекулярная_физика

51

Q2 = −Q2 - количество теплоты, отданное за цикл рабочим телом холодильнику.

Холодильная машина

Рассмотрим следующий цикл. Рабочее тело получает количество теплоты Q2 и отдает те6лу с более высокой температурой количество теплоты

Q1′ .

Такое устройство называется холодильной машиной и характеризуется холодильным коэффициентом, равным

ε = QA2′ ,

где A′ - работа, совершаемая внешними силами над рабочим телом.

Второе начало термодинамики

Наличие холодильника в тепловой машине означает, что не все тепло Q1 , которое нагреватель передает рабочему телу, превращается в работу. Возникает мысль о машине без холодильника, в которой вся тепловая энергия используется для совершения механической работы. Сконструировать такую машину пытались многие, но оказалось, что это сделать невозможно. Это утверждение называется вторым началом термодинамики.

Невозможно устройство, работающее циклически и превращающее все подводимое к нему тепло в механическую работу.

Цикл Карно

Если невозможна машина, полностью превращающая тепло в работу, то остается придумать такую, которая бы делала это наиболее эффективно, т.е. с максимальным КПД. Такую задачу решил Карно, предложив процесс, получивший название цикла Карно.

A

η =1− T2 .

T1

Цикл Карно – идеальный цикл, в котором отсутствуют потери тепла. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, называется идеальной тепловой машиной.

КПД цикла Карно с идеальным газом не зависит от рода газа и определяется только температурами нагревателя и холодильника.

КПД любой тепловой машины, имеющей нагреватель с температурой T1 и холодильник с температурой T2 не больше чем КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же нагревателем и холодильником.

В заключение запишем уравнение цикла Карно для давления и объема:

pAVA = pBVB , pBVBγ = pCVCγ ,

pCVC = pDVD , pDVDγ = pAVAγ .

Циклы Отто и Дизеля

Распыленное в воздухе горючее (бензин) подается в цилиндр – линия 0-1. Затем происходит адиабатное сжатие 1-2. В состояние 2 с помощью искры происходит воспаление смеси. Процесс сгорания смеси происходит достаточно быстро, так что процесс 2-3 можно считать изохорным. Затем следует адиабатное расширение 3-4 – это рабочий ход поршня. После изохорного охлаждения 4-1 открывается клапан, и продукты сгорания выталкиваются в атмосферу – линия 1-0. Затем в цилиндр поступает новая порция горючего.

54

КПД цикла Отто равен:

η=1− V2 γ−1 .

V1

Циклы Отто используются с применением качественного горючего – бензина.

В других случаях применяется цикл Дизеля.

На участке 0-1 происходит подача воздуха в цилиндр и затем его адиабатное сжатие 1-2. При этом воздух сильно нагревается. Затем в цилиндр впрыскивается распыленное горючее, которое сгорает так, что процесс можно считать изобарным 2-3. После адиабатного расширения 3-4 (рабочий ход) происходит изохорное охлаждение 4-1 и выброс продуктов сгорания в атмосферу.

55

ГЛАВА 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Случайные величины. Вероятность

Предположим, что мы измеряем некоторую величину x . Пусть в первом измерении величина x имеет значение x1 , во втором – значение x2 , в третьем -

x3 и т.д.

Если изменение значений носит непредсказуемый характер, то величина x может принимать случайные значения из последовательности

x1,x2 ,...xi...xk .

В таком случае случайная величина x имеет дискретные значения. Пусть Ni - число частиц системы, для которых значение величины x оказалось

равным xi .

Факт, заключающийся в том, что величина x принимает некоторое значение, называется событием.

Можно сказать, что Ni - число событий, в которых величина x имеет значение xi .

Запишем отношение: NNi .

Предел, к которому стремится величина NNi при N → ∞ называется вероятностью того, что величина x имеет значение xi

ω(xi )= lim Ni .

N→∞ N

При достаточно большом N можно считать что

ω(xi )= NNi , ω(xi )≤1.

Кроме случайных событий бывают еще события двух типов: достоверные и недостоверные.

Достоверное событие – это такое событие, которое происходит в любом из экспериментов, независимо от количества экспериментов. Вероятность достоверного события равна единице.

ωд =1 .

Недостоверное событие – это такое событие, которое никогда не происходит ни в одном из экспериментов. Вероятность недостоверного события равна нулю.

ωн = 0 .

56

Функция распределения

Пусть случайная величина x может принимать любое значение из некоторого интервала (x1, x2 ). В таком случае величина x имеет непрерывное распределение значений.

где f (x) - некоторая функция и называется она функцией распределения значений величины x или функцией распределения.

Возьмем единичный интервал значений:

dx =1, dω(x)= dω1(x), f (x)= dω1(x).

Функция распределения численно равна вероятности того, что значение случайной величины x находится в единичном интервале вблизи некоторого значения этой величины.

Функция распределения f (x) называется также плотностью вероятности. Проинтегрируем выражение ( )

x2

∫dω(x)∫f (x)dx .

x1

Обозначим

x 2

∆ω(x)= ∫dω(x).

x1

x 2

∆ω(x)= ∫f (x)dx .

x1

Величина ∆ω(x) есть вероятность того, что значение случайной величины x находится в интервале (x1 , x2 ).

Закон умножения вероятностей.

Величины называются статически независимыми, если значение одной из них не зависит от того, какие значения принимают остальные величины.

одновременно имеют значения в интервале (x,x +dx) и (y,y +dy). Такая вероятность равна:

dω(x и y)= dω(x) dω(y).

Формула называется законом умножения вероятностей.

Среднее значение величин

Пусть ϕ(x) - функция случайной величины x , имеющей непрерывное распределение значений.

Средним значением случайной величины x называется величина, равная

x2

<x >= ∫xdω(x),

x1

x2

<x >= ∫xf (x)dx ,

x1

где (x1,x2 ) - интервал изменения x .

Средним значением функции случайной величины ϕ(x) называется величина, равная

x2

<ϕ(x)>= ∫ϕ(x)dω(x),

x1

x2

<ϕ(x)>= ∫ϕ(x)f (x)dx .

x1

Распределение частиц системы

Запишем

dω(x)= f (x)dx .

Умножим на число частиц системы N обе части

Ndω(x)= Nf (x)dx .

58

Обозначим

dN = Ndω(x).

Распределение проекции скорости молекулы

Три декартовые проекции скорости молекул являются статически независимыми случайными величинами.

Поскольку, направления x, y,z в пространстве равноценны, то величины υx ,υy ,υz должны иметь одинаковую функцию распределения, поэтому

достаточно найти, например, функцию распределения f (Vx ). Две другие функции f (Vy ), f (Vz ) будут иметь такой же вид, что и f (Vx ).

В математике существует множество функций распределения. Однако в реальной жизни чаще всего встречается нормальное распределение:

где τ- параметр распределения.

Дж.Максвелл предполагал, что распределение проекции скорости молекулы также является нормальным, и определил для него параметр τ,

τ = kT , m0

60

< υx >= 0 .

Очевидно, что

< υy >= 0 , < υz >= 0 .

Распределение модуля скорости молекул

Обозначим

dω(υ) - вероятность того, что модуль скорости молекулы имеет значение в интервале: (υ, υ+dυ).

Очевидно, что

dω(υ)= f (υ)dυ,

где f (υ) - функция распределения модуля скорости. Наша задача – найти выражение для f (υ).

Возьмем три взаимноперпендикулярные оси υx ,υy ,υz , на которых откладываем значения проекций скорости молекулы υx ,υy ,υz . От определения пространство скоростей или υ- пространство.