04_Магнетизм

где:

r0 – радиус орбиты электрона. Перепишем, опуская знак минус:

E = r20 ddtB .

Под действием вихревого электрического поля E электроны ускоряются до скорости, близкой к скорости света в вакууме.

Индуктивность

Пусть по замкнутому плоскому контуру течет ток силой I . Этот ток создает магнитное поле, силовые линии которого пересекают поверхность S , ограниченную контуром.

При этом возникает магнитный поток Φ через поверхность S . По определениюΦпропорционально В. Из закона

Био-Савара-Лапласа следует, что , значит магнитный поток через поверхность ограниченную контуром с током пропорционален силе тока в контуре:

Φ = L I .

Коэффициент L называется индуктивностью контура. Если контур состоит из N витков, тогда:

ψ = NΦ,

где:

82

Φ– магнитный поток через поверхность ограниченную одним витком, ψ– полный магнитный поток или потокосцепление.

Можно записать определение индуктивности:

L = ψI , ВбА = Гн.

Найдем индуктивность соленоида с магнитным сердечником. Пусть длина соленоида равна l , площадь поперечного

сечения S , число витков N , плотность намотки n = Nl , маг-

нитную проницаемость сердечника обозначим µ .

Магнитный поток через один виток равен:

Φ = BS = µ0µ n I S .

Полный магнитный поток соленоида равен:

ψ = NΦ = (nl)µ0µ I S = µ0µ n 2l S I ,

N = nl .

Индуктивность соленоида равна:

83

Явление самоиндукции

При изменении силы тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий каждый виток, и изменяется потокосцепление контура. При этом в контуре возникает э.д.с. индукции.

Данное явление называется явлением самоиндукции, а возникающая при этом э.д.с. называется э.д.с. самоиндукции.

Если в контуре отсутствуют ферромагнетики, то индуктивность контура остается постоянной и:

L = const , εS = −L dIdt , B .

Величина dIdt имеет смысл скорости изменения силы то-

ка в контуре. Для ферромагнетиков:

εS = − L + I dL dI .

dI dt

Взаимная индуктивность

Рассмотрим два неподвижных, близко расположенных контура 1 и 2. Если в контуре 1 течет ток I1 , то его магнитное поле создает через контур 2 магнитный поток:

ψ2 = L21I1 ,

L21 = ψI 2 , Гн 1

84

При изменении тока I1 в контуре 2 возникает э.д.с.:

Аналогично, при изменении тока I2 во втором контуре для первого имеем:

ψ1 = L12 I2 ,

L12 = ψI 1 , Гн, 2

ψdI

εi1 = − dt1 = −L12 dt2 .

Возникновение тока в одном контуре при изменении тока в другом контуре называется взаимной индукцией. Контуры

при этом называются связанными. Коэффициенты L21 , L12 называются взаимной индуктивностью. В общем случае L21 ≠ L12 , но в вакууме L21 = L12 .

Энергия магнитного поля

Рассмотрим электрическую цепь. Когда ключ К находится в положении 1 то в цепи течет ток I . В момент времени равный нулю ключ устанавливается в положение 2. Ток в цепи будет уменьшаться, возникает э.д.с. εS самоиндукции.

85

Найдем работу, совершаемую э.д.с.: dA = εSIdt = −L dIdt Idt = −LIdI ,

Э.д.с. εS возникает вследствие изменения магнитного

поля, следовательно, работа A совершается за счет уменьшения энергии магнитного поля, первоначальное значение которой, очевидно, равно:

W = A .

Энергия магнитного поля, создаваемого током I , текущим по контуру с индуктивностью L , равна:

86

Объемная плотность энергии магнитного поля

Определим энергию магнитного поля в длинном соле-

Здесь:

l S = V – объем соленоида.

Объемной плотностью энергии магнитного поля называ-

w = µ0µH2 2 .

Для того, чтобы найти энергию магнитного поля в некотором объеме V , нужно вычислить интеграл:

W = ∫wdV .

V

87

Цепи квазистационарного тока

1. Квазистационарные токи

Закон Ома и правила Кирхгофа установлены для постоянного тока. Пусть в цепи действует э.д.с., зависящая от времениε = ε(t).

Обозначим:

T – характерное время изменения э.д.с.; l – длина электрической цепи.

Расчет и опыт показывают, что мгновенные значения силы тока во всех сечениях электрической цепи будут практически одинаковыми и подчиняются закону Ома, если выполняется условие:

τ = cl << T ,

где:

c = 3 108 мc .

Токи, удовлетворяющие приведенному условию, называются квазистационарными.

2. Включение постоянной э.д.с.

Пусть в момент t = 0 с помощью ключа K замыкается цепь, содержащая источник э.д.с. ε, катушку индуктивностью L , сопротивление R .

88

ln ε −εIR = − RL t ,

ε− IR = exp − R t ,

εL

τ = RL , c

I= I0 1−e−τt .

90