04_Магнетизм

Пусть через площадь S течет электрический ток с плотностью тока – j .

В этом случае запишем для циркуляции B :

∑Ii = ∫ j dS ,

i S

∫B dl = µ0 ∫ j dS ,

L S

∫rotB dS = µ0 ∫ j dS ,

S S

∫rotB dS = ∫(µ0 j) dS .

S S

Полученное выражение справедливо для произвольного контура L и, следовательно, для произвольной поверхности S . Это возможно только в случае, если выполняется равенство:

rotB = µ0 j .

Векторное поле, ротор которого в общем случае отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным полем.

Таким образом, можно заключить, что магнитное поле всегда является вихревым (соленоидальным) полем.

21

Расчет магнитного поля

1. Бесконечный прямой цилиндрический проводник

Постоянный ток силой I течет по цилиндрическому проводнику, радиус поперечного сечения которого равен R .

Из симметрии следует, что силовые линии магнитного поля имеют вид концентрических окружностей с центром на оси провода.

Во всех точках силовой линии, равноудаленных от оси, магнитная индукция одинакова по величине.

Область r ≥ R :

∫B dl = µ0 I ,

L

22

2π r

Область r ≤ R :

∫B dl = µ0 Ir ,

L

где:

Ir – сила тока, протекающего сквозь контур, радиусом r . Очевидно, что:

∫B dl = B2πr ,

L

Индукция магнитного поля внутри проводника возрастает пропорционально расстоянию r , вне проводника индукция

уменьшается пропорционально 1r .

23

2. Соленоид

На цилиндрический каркас радиусом R и длиной l равномерно намотано N витков тонкого провода. Диаметр провода d . Такая система называется соленоидом.

Пусть выполняется условие: l >> R,

R>> d.

Вэтом случае соленоид называется бесконечно длинным.

24

Число витков на единицу длины соленоида есть величина равная:

n = Nl , м1 = м−1 .

Запишем:

n = Nl = NdN = d1 , n = d1 .

Пусть в обмотке соленоида течет постоянный ток силой I . Каждый виток соленоида создает магнитное поле.

B′– магнитная индукция вне соленоида.

Проведем прямоугольный контур L , как показано на рисунке.

25

Запишем:

∫B dl = µ0 ∑Ii .

Обозначим длину стороны 1–2 буквой a . Тогда:

Угловые скобки означают среднее значение магнитной индукции на соответствующей стороне контура. Сторону контура 3–4 можно взять на любом расстоянии. Поскольку правая часть при этом не изменяется, то это означает, что:

B′ = const .

Возьмем сторону 3–4 бесконечно далеко от соленоида, в области, где магнитное поле равно нулю. Следовательно:

B′ = 0 .

Из однородности пространства внутри соленоида и симметрии следует, что внутри соленоида вектор магнитной индукции может быть направлен только вдоль оси соленоида. При

этом на участках контура 2–3 и 4–1 векторы B и dl перпендикулярны.

С учетом вышесказанного запишем

∫B dl = µ0 n a I ,

12

∫B dl = µ0 n a I ,

a

B∫dl = µ0 n a I ,

a

Ba = µ0 n a I , B = µ0 n I .

Записав закон о циркуляции для любой точки соленоида, приходим к выводу, что магнитное поле внутри соленоида однородно, магнитная индукция равна:

26

B = µ0 n I ,

B = const .

Магнитное поле за пределами соленоида равно нулю:

B′ = 0 .

Для напряженности магнитного поля имеем:

H = B , µ0

H = nI .

Величина nI называется числом ампервитков на единицу длины.

3. Тороид

Обозначим:

R1 , R 2 – внутренний, внешний радиусы тороида;

R – радиус средней линии тороида:

R = R1 + R 2 . 2

Тороид называется тонким, если выполняется условие:

(R 2 − R1 )<< R .

В тонком тороиде силовые линии внутри тороида представляют собой концентрические окружности, причем во всех точках таких окружностей можно считать, что:

B = const .

27

Магнитная индукция поля на средней линии тороида равна:

B = µ0 nI , n = 2πNR ,

где:

I – сила тока в обмотке тороида; N – число витков обмотки.

Дивергенция магнитной индукции

По тонкому проводнику течет постоянный ток силой I . Запишем для точки P :

28

Запишем для него:

Idl = jSdl = jSdl = jdV ,

rot(x,y,z) представляет дифференцирование по x, y,z функции

j(x′, y′, z′), зависящей от других переменных x′, y′, z′. Поэтому:

rot(x,y,z) j(x′, y′, z′)= 0 .

Кроме того, вычисление дает результат: rot(x,y,z) rr3 = 0 .

Таким образом, подынтегральное выражение тождественно равно нулю, следовательно:

divB = 0 .

Это равенство означает, что магнитное поле B не имеет источников. Силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца. Они являются либо замкнутыми линиями, либо уходят на бесконечность.

Магнитный поток

Проведем в магнитном поле произвольную поверхность S так, чтобы она пересекалась силовыми линиями магнитного поля.

Разобьем S на участки dS так, чтобы каждый участок можно было считать плоским и в пределах dS магнитное поле

– однородным.

Проведем вектор нормали n к dS и вектор магнитной индукции B .

30