04_Магнетизм

Обозначим:

α – угол между векторами B и n .

Элементарным потоком магнитной индукции через элементарный участок поверхности называется скалярная величина:

dΦ = BdScosα,

dΦ = B dS , Тл м2 = Вб, dS = nr dS .

Потоком магнитной индукции (магнитным потоком) через некоторую поверхность, проведенную в магнитном поле, называется алгебраическая сумма элементарных магнитных потоков через элементарные участки этой поверхности:

Φ= ∫dΦ,

Φ= ∫BdScosα,

S

Φ = ∫B dS .

S

Пусть поверхность S – плоская, а магнитное поле – однородное.

31

Тогда:

B = const , α = const ,

Φ = ∫BdScosα = Bcosα∫dS = BScosα,

S

Φ = BScosα.

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

Проведем в магнитном поле замкнутую поверхность и вычислим:

Φ = ∫B dS .

S

Запишем теорему Остроградского – Гаусса для вектора

Bи поверхности S :

Φ= ∫B dS = ∫divB dV ,

S V

где:

V – объем пространства, ограниченный поверхностью. В любой точке магнитного поля:

32

divB(x, y,z)= 0 .

Следовательно:

∫B dS = 0 .

S

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность, проведенную в магнитном поле, всегда равен нулю.

Данное утверждение есть теорема Гаусса для вектора B . Рассмотрим важное следствие. Разобьем замкнутую поверх-

ность S на две произвольные поверхности S1 и S2 . Запишем:

∫B dS = ∫B dS + ∫B dS = 0 .

Пусть силовые линии «входят» в поверхность S2 и «выходят» из поверхности S1 .

Проведем векторы нормали n1 и n 2 . Запишем:

n′2 = −n 2 ,

33

Φ′2 = ∫B dS = ∫Bnr′2 dS =

Φ2 = −Φ′2 , Φ1 −Φ′2 = 0 ,

Φ1 = Φ′2 .

Поверхности S1 и S′2 ограничиваются одним и тем же контуром L . Поскольку S1 , S′2 , L взяты произвольно, то можно

заключить, что магнитный поток через поверхность, ограниченную некоторым контуром, не зависит от формы этой поверхности:

Φ1 = Φ2 = Φ3 = ... ,

L = const .

Глава 2 Силовое действие магнитного поля

Сила Ампера

Рассмотрим произвольный проводник, расположенный в магнитном поле, по которому течет ток силой I .

34

r

Из опыта известно, что на элемент проводника dl со стороны магнитного поля действует сила:

dFA = I[dl ×B], dFA = IdlBsinα ,

где:

B – магнитная индукция поля вблизи dl ; α– угол между векторами dl и B .

Вектор dFA перпендикулярен векторам dl и B . Сила dFA называется силой Ампера.

Сила, действующая на проводник длиной l , равна: r

FA = ∫dFA = ∫I[dl ×B].

Для прямолинейного проводника с постоянным током, находящегося в однородном магнитном поле, можно записать:

I = const, B = const .

35

Вектор FA перпендикулярен проводнику и B модуль силы равен:

FA = I B lsinα,

где:

α– угол между вектором B и направлением тока в проводнике.

Работа силы Ампера

Контур с подвижной перемычкой находится в однород-

ном магнитном поле, магнитная индукция B перпендикулярна плоскости контура. В контуре течет ток силой I . На перемычку со стороны поля действует сила Ампера:

F = I B l ,

где:

l – длина перемычки.

Под действием F перемычка будет двигаться вдоль оси x . За некоторое время перемычка совершает перемещение dx . Работа силы равна:

dA = Fdx = I B ldx = I BdS ,

где:

dS = ldx – приращение площади контура.

36

Величина dΦ = BdS есть магнитный поток через приращение площади контура или приращение магнитного потока через контур:

r

Пусть вектор B направлен под некоторым углом α к плоско-

сти контура. В этом случае:

dA = Frdrr = Fdx cosα = I B lsin π2 dx cosα =

= I B ldx cosα = I B dS cosα = IdΦd dA = IdΦ.

37

Пусть замкнутый контур произвольной формы находится в неоднородном магнитном поле. Разобьем движущуюся

часть контура на элементарные участки dli , такие, что каждый

из них можно считать прямолинейным, а магнитное поле в пределах участка – однородным. Для каждого участка можно записать:

dAi = IdΦi ,

где:

dAi – элементарная работа при элементарном перемещении i - го участка контура;

dΦi – элементарное приращение магнитного поля вследствие перемещения i -го участка контура.

Элементарная работа, совершаемая при элементарном перемещении всех участков контура, равна:

38

dA = IdΦ.

Работа, совершаемая силами Ампера, при конечном перемещении проводника с током из начального положения 1 в конечное положение 2 равна:

2

A = ∫dA ,

1

A = ∫2 IdΦ.

1

Пусть сила тока в контуре поддерживается неизменной:

где:

Φ1 ,Φ2 – магнитные потоки через поверхность, ограниченную

контуров в начальном положении 1 и в конечном положении 2 контура в магнитном поле.

Величина A называется работой сил Ампера или работой магнитного поля при перемещении проводника с током.

Контур с током в магнитном поле

Рассмотрим плоский контур, по которому течет ток си-

лой I .

39

Обозначим:

S – площадь участка поверхности, ограниченной контуром;

n – нормаль к плоскости контура, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого буравчика.

Магнитный момент контура с током равен:

Pm = ISnr .

1. Контур с током в однородном магнитном поле

Пусть выполняется одно из следующих условий: а) контур находится в однородном магнитном поле:

B = const ;

б) магнитное поле неоднородно, но размеры контура таковы, что в пределах контура поле можно считать однородным. В таком случае контур называют малым и в его пределах:

B = const .

Разобьем контур на элементы dl и запишем для i -го элемента:

dFi = I[dli ×B],

где:

dFi – сила Ампера, действующая на i -й элемент. Сила F , действующая на весь контур, равна:

40