04_Магнетизм
.pdf
Направление вектора магнитной индукции указано на рисунке.
3. Магнитное поле на оси кругового витка с током
Пусть по проводнику в виде окружности радиусом R протекает ток силой I . Проведем ось OY через центр окружности 0 перпендикулярно плоскости, в которой лежит окружность. Возьмем точку P на оси, удаленную от плоскости окружности на расстояние h . Будем искать магнитную индукцию поля в этой точке. Разобьем окружность на элементы dl и возьмем два элемента на противоположных концах диаметра 1–2.
Найдем магнитную |
индукцию |
dB1 , |
создаваемую элементом |
|||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r1 |
и dl1 и его модуль ра- |
||||
Вектор dB1 |
перпендикулярен |
|||||||||||
вен: |
|
µ0 I dl sinα |
|
|
µ0 |
|
I dl |
|
π |
|
||
dB |
= |
|
= |
|
, α = |
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
4π r2 |
|
4π |
r 2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
rАналогично, для вектора dB2 , создаваемого элементом
dl2 :
dB2 = µ4π0 Irdl2 = dB1 .
11
Представим оба вектора в виде: |
|
|
|
||||||||||||
|
r |
|
r |
|
+ jdB |
= idB sinβ+ jdB cosβ , |
|
||||||||
dB |
= idB |
|
|||||||||||||
r |
1 |
r |
1x |
|
|
|
|
1y |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
dB2 |
= idB2x + jdB2y = −idB2sinβ+ jdB2cosβ. |
||||||||||||||
Угол β указан на рисунке. Найдем вектор dB: |
|
|
|||||||||||||
dB = dB1 +dB2 = |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|||||
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= i dB1sinβ+ jdB1cosβ |
− idB2sinβ+ jdB2cosβ |
= |
|||||||||||||
r |
|
|
|
r |
|
µ |
0 |
Idl |
|
R |
= |
|
|||
= j2dB cosβ = |
j2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4π |
r 2 |
|
R 2 |
+ h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
2µ0 |
IR dl |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4π(R 2 + h 2 )3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
cosβ = |
|
R |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
R 2 |
+ h 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
= R 2 |
+ h 2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
r |
r |
2µ |
0 |
I R dl |
|
|
r |
|
|
|
||||||
|
B = ∫dB = |
j∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= j |
B , |
||||||||
|
|
4π(R |
2 |
+ h |
2 3 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B = ∫2 |
|
µ0 I dl |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||
4π(R 2 + h 2 ) |
(R 2 + h 2 )1 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2µ0 IR |
|
|
πR |
|
|
|
µ0 Iπ R 2 |
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
∫dl = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
4π(R |
2 |
+ h |
2 3 2 |
2π(R |
2 |
+ h |
2 |
3 2 |
|||||||||||
|
|
|
) |
0 |
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
B = |
|
|
µ0 I R 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2(R 2 + h 2 )3 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением поступательного движения конца буравчика, если расположить рукоятку буравчика в плоскости витка и вращать
еев направлении тока в витке.
4.Магнитное поле в центре кругового витка с током
Положим h = 0 , получим:
B = µ2R0 I .
13
5. Магнитное поле контура с током на большом расстоянии
Рассмотрим замкнутый контур, в котором течет ток силой I . Контур ограничивает участок поверхности площадью S .
Проведем единичный вектор n , перпендикулярный к поверхности S . Направление n и направление тока в контуре связаны правилом правого буравчика.
Магнитным моментом контура с током называется вектор, равный:
Pm = ISnr ,
Pm = IS, А м2 .
Направление магнитного момента совпадает с направлением поступательного движения конца буравчика, если его рукоятку расположить в плоскости контура и вращать в направлении тока в контуре.
Пусть некоторая точка P находится от контура на расстоянии r , много большем, чем характерный размер контура:
r >> 
S .
14
В этой точке контуром создается поле, магнитная индукция которого равна:
B = |
µ0 |
|
Pm |
1+3cos2θ , |
|
4π |
|
r3 |
|
где:
θ– угол между вектором Pm и направлением из центра контура на точку P .
6. Магнитное поле движущегося заряда
Рассмотрим проводник с током. Запишем для элемента проводника:
r |
r |
Idl |
= jS dl |
Здесь:
j – плотность тока,
водника dυ = S dl , сителей тока.
Запишем:
dBr = µ0 I[dl ×rr], 4π r3
= j S dl = qnυr dυ = q n dυυr = q dN υr .
dN – число носителей тока в элементе про- dυ– скорость упорядоченного движения но-
dB = Bq dN ,
гдеr :
Bq – магнитная индукция поля, создаваемого одним зарядом q .
15
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
||
|
|
|
|
|
|
µ0 |
|
|
|
|
q dN[υ× r] |
|
|||||
|
Bq dN = |
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
4π |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|||||
|
r |
|
|
= |
µ |
0 |
|
|
|
q[υr×rr] |
|
|
|||||
|
B |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
4π |
|
|
r3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
B |
q |
= |
µ0 |
|
|
q υsinα |
. |
|||||||||
|
4π |
|
|||||||||||||||
|
Здесь: |
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bq – индукция магнитного поля, создаваемого точечным заря- |
|||||||||||||||||
дом в точке P , положение |
|
которой |
определяется радиус- |
||||||||||||||
вектором rr ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q – заряд; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υr |
– скорость; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α – угол, между векторами υ и r .
16
Направление вектора Bq определяется векторным произведением и знаком заряда q .
Циркуляция магнитной индукции
Проведем в магнитном поле произвольный контур L , выберем направление обхода контура.
drl – элемент контура длиной dl , направление которого совпадаетr с направлением обхода контура;
B – индукция магнитного поля в точке нахождения элемента
dl ; |
|
α – угол между векторами dl и B . |
r |
|
|
Циркуляцией вектора магнитной индукции (вектора B ) |
|
по произвольному замкнутому контуру L называется величина: |
|
17 |
|
∫Bdlcosα = ∫B dl .
L L
Пусть I – сила тока, текущего по прямому бесконечному проводнику. Выберем контур L в плоскости, перпендикулярный проводнику так, чтобы проводник с током находился внутри контура L . Выберем направление обхода контура так, как указано на рисунке.
Будем искать циркуляцию B вдоль контура L . Если dl достаточно мало, то:
B dl cosα = B dlB , dlB = rdϕ ,
где:
r – радиус силовой линии вектора B ;
dϕ – элементарный (бесконечно малый) угол поворота радиуса.
Запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
= ∫B dl cosα = ∫BdlB = |
||||||
∫B |
dl |
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
= |
2π µ |
|
I |
|
rdϕ = |
µ |
|
I 2π |
||
∫0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
dϕ = µ0 I. |
||
|
2πr |
|
2π |
∫0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
Если контур L не охватывает ток, то при обходе контура на участке 1–2 радиальная прямая поворачивается по часовой стрелке, а на участке 2–1 против часовой стрелки, при этом:
∫dϕ = 0 , 
∫B dl = 0 .
L
Полученные результаты справедливы для любого кон-
тура и любого проводника с током. |
P токов, |
причем |
токи |
|
Пусть |
имеется всего |
|||
I1 , I2 ,...Ii ,...IN |
«охватываются» |
контуром |
L , а |
токи |
IN+1 , IN +2 ,...IP |
находятся вне контура. |
|
|
|
Найдем циркуляцию B магнитного поля, создаваемого всеми токами.
19
r
∫B
L
r |
|
|
P |
r |
r |
P |
|
r |
dl |
= |
∫L |
∑Bi dl |
= ∑ |
∫ |
Bi |
||
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
||
|
|
|
|
r |
r |
|
N |
|
|
|
|
∫B dl |
= µ0 ∑Ii . |
||||
|
|
|
L |
|
|
i=1 |
|
|
drl = ∑N µ0 Ii ,
i=1
Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль произвольного контура равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму сил токов, охватываемых этим контуром. При этом сила тока считается положительной, если для наблюдателя, смотрящего навстречу току, обход контура виден происходящим против часовой стрелки, и отрицательной, если обход контура виден происходящим по часовой стрелке.
Вихревое магнитное поле
Запишем теорему Стокса для вектора магнитной индук-
ции:
r |
r |
r |
r |
∫B dl |
= ∫rotB dS . |
||
L |
|
S |
|
Здесь:
S –rплощадь поверхности, ограниченной контуром L ;
rotB – ротор B .
В декартовых координатах можно записать:
r |
|
ri |
|
rj |
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
rotB = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Bx |
By |
Bz |
|
|
||
20