04_Магнетизм
.pdf∫J dl = I′,
L
∫J dl = ∑Imi .
L |
i |
Циркуляция намагниченности по произвольному контуру равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром.
Обозначим:
jm′ – вектор плотности молекулярного тока. Запишем:
I′ = ∫ jm′ dS ,
S
∫J dl =∫ jm′ dS,
L S
∫J dl =∫rotJ dS,
L S
∫rotJ dS =∫ jm′ dS.
S S
Поскольку поверхность S взята произвольно, то:
rotJ = jm′ .
Ротор намагниченности в некоторой точке равен вектору плотности молекулярных токов в этой же точке. Для однородной намагниченности можно записать:
J(x, y,z)= const ,
rotJ = 0 , jm′ = 0 .
Напряженность магнитного поля
Пусть магнетик находится в постоянном магнитном поле, создаваемом токами, текущими в проводниках.
61
Токи, текущие по проводникам, называются токами проводимости. Проведем контур L и запишем для циркуляции
магнитной индукции B : |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
= µ0 |
|
|
|
|
∫B dl |
|
∑Ii + ∑Imi . |
||||
|
|
|
|
i |
i |
|
Первое слагаемое есть алгебраическая сумма сил токов проводимости, второе – алгебраическая сумма сил молекулярных токов в магнетике.
Запишем для циркуляции намагниченности:
∫J dl = ∑Imi ,
|
|
L |
|
i |
|
∫ |
B |
r |
|
r |
r |
µ0 |
dl |
= ∑Ii + ∫J |
dl , |
||
L |
|
i |
L |
|
|
|
|
B |
r r |
= ∑Ii . |
|
|
|
|
|
||
|
∫ |
µ0 |
- J dl |
||
|
L |
|
i |
|
Обозначим:
Hr = B − rJ . µ0
ВекторH называется напряженностью магнитного поля. Для него получено выражение:
∫H dl = ∑Ii .
L |
i |
62
Циркуляция напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме сил токов проводимости, охватываемых этим контуром.
Если ток распределен в среде с плотностью j , то:
∫H dl =∫ j dS.
L S
Запишем теорему Стокса для вектора H :
∫H dl = ∫rotH dS .
L S
Далее:
∫rotH dS = ∫ j dS ,
S S
rotH = j .
Ротор напряженности магнитного поля в некоторой точке равен вектору плотности тока проводимости в этой же точке.
Модуль вектора H имеет следующую единицу измере-
ния:
H, Ам .
Магнитная проницаемость
r |
Из опыта известно, что векторы J намагниченности и |
|
|
H напряженности магнитного поля в магнетике связаны зако- |
|
ном: |
|
J = κH .
Величина κ называется магнитной восприимчивостью вещества.
Запишем:
Hr = B − rJ , µ0
63
r |
|
B |
|
r |
|
|
H = |
|
|
− κH , |
|||
µ0 |
||||||
|
|
|
|
|||
r |
|
r |
|
B |
|
|
H + |
κH |
= |
|
, |
||
µ0 |
||||||
|
|
|
|
|
||
B = µ0 (1+ κ)H , |
||||||
r µ = (1+ κ) , |
|
B = µ0µH , B = µ0µH .
Величина µ называется магнитной проницаемостью ве-
щества.
Видно, что κ и µ не имеют размерности. В вакууме (воздухе):
κ = 0, µ =1,
B = µ0 H ,
B = µ0 H .
Магнетики, для которых κ и µ не зависят от напряженности магнитного поля, называются парамагнетиками, еслиκ > 0 и диамагнетиками, если κ < 0 .
При этом:
κ ≈ 0 , µ ≈1.
Кроме того, существуют магнетики, для которых величины κ и µ являются функцией напряженности магнитного
поля. Такие вещества называются ферромагнетиками. Для ферромагнетиков:
J = J(H),
B = µ0µ(H)H .
Для ферромагнетиков µ есть нелинейная функция H и величина µ может быть много больше единицы.
64
Значение µ можно найти из кривой зависимости
B = B(H):
B = µ0µH ,
µ = |
|
B |
, |
|
|
||||
|
|
µ0 H |
||
µ1 = |
|
B1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
µ0 H1 |
65
Условия на границе двух магнетиков
1. Граничные условия для вектора B
Рассмотрим два магнетика, имеющих общую поверхность. Вблизи поверхности по обе стороны от нее построим прямой цилиндр с основаниями ∆S и высотой h , причем h → 0 .
Запишем теорему Гаусса для вектора B :
66
∫B dS = 0 ,
r |
r |
|
S |
r |
r |
r |
|
|
+ ∫ |
r |
|||||
∫B1 dS1 |
B |
dS + |
∫B2 |
dS2 = 0 , |
|||
∆S |
|
|
Sбок |
|
|
∆S |
|
B |
dS |
= B nr |
dS = B (− nr)dS = |
||||
1 |
r |
1 r |
1 |
1 |
1 |
|
|
= −B1 |
ndS |
= −B1ndS, |
|
||||
B2 dS2 = B2 nr2 dS = B2 nrdS = B2 n dS , |
|||||||
где: |
|
|
|
|
|
|
на вектор нормали nr, |
B1n , B2 n – проекции векторов B1 и B2 |
|||||||
проведенный из 1-й среды во 2-ю. |
|
|
|||||
Полагаем, что в пределах ∆S поле B1 и B2 можно счи- |
|||||||
тать однородным: |
B1n |
|
= const , B2 n |
= const . |
|||
|
|
При h → 0 второй интеграл стремится к нулю: h → 0 ,
Sбок → 0 ,
rr
∫B dS = 0 ,
Sбок
− ∫B1n dS + ∫B2 n dS = 0 ,
∆S ∆S
− B1n ∆S + B2 n ∆S = 0 ,
B1n = B2 n .
При переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая магнитной индукции не изменяется.
2. Граничные условия для вектора H
Построим контур L в виде прямоугольника со сторонами a и b , причем b → 0 . Сторона a параллельна границе раздела магнетиков.
67
Пусть вдоль границы раздела магнетиков в направлении, перпендикулярном плоскости контура, течет ток проводи-
мости с линейной плотностью i A .
м
Запишем теорему о циркуляции вектора H :
∫H dl = I ,
r |
r |
|
|
r |
L |
r |
r |
|
r |
r |
|
|
+ ∫ |
r |
+ ∫ |
|
|||||||
∫H1 |
dl1 |
H′ dl |
′+ ∫H2dl2 |
H′′ |
dl |
′′ = I , |
|||||
12 |
r |
|
r23 |
|
|
34 |
|
41 |
|
|
|
|
H1 |
dl1 = H1 rτ1dl = H1 rτdl = H1τdl , |
H2 dl2 = H2 rτ2dl = H2 (−rτ)dl = = −Hr2rτdl = −H2τdl.
Здесь:
68
H1τ , H2τ – проекции векторов H1 и H2 на направление вектора
rτ, проведенного, как показано на рисунке,
I = −(i a).
Знак минус обусловлен направлением тока i и направлением обхода контура L . Второй и четвертый интегралы вычисляются по сторонам контура длиной b . При b →0 эти интегралы также стремятся к нулю.
Запишем:
∫H1τdl − ∫H2τdl = −ia .
a a
При малом значении a можно полагать, что:
H1τ = const , H2τ = const ,
H1τ a - H2τ a = −i a , H1τ - H2τ = −i ,
H2τ - H1τ = i .
Если токи проводимости отсутствуют или не пересекают контур
L , то:
i = 0 ,
H2τ - H1τ = 0 .
H1τ = H2τ .
При переходе через границу раздела двух магнетиков тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля не изменяется.
3. Преломление линий вектора B
Рассмотрим векторы магнитной индукции вблизи поверхности раздела двух магнетиков.
69
Запишем:
tgα1 = BB1τ ,
1n
|
|
|
|
|
|
tgα2 |
= |
|
B2τ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tgα2 |
= |
|
B2τ B2 n |
|
|
|
= |
|
B2τ |
|
|
B1n |
|
, |
||||||||||||||||||||||
tgα |
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 τ |
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1τ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B1n |
= B2 n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H1τ |
= H2τ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
r |
|
|
= |
|
B1τ |
|
, B |
|
|
|
= µ |
|
µ |
H |
|
|
|
|||||||||||||||||||
H |
1τ |
|
|
|
|
|
|
1τ |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
µ0µ1 |
|
|
|
|
|
1τ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B2τ = µ0µ2 H2τ , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B2τ |
= |
|
µ0µ 2 |
|
H2τ |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
1τ |
|
µ |
1 |
|
|
|
H |
1τ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
tgα2 |
= |
µ2 |
= |
H2τ |
|
|
B1n |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
tgα1 |
µ1 |
|
|
|
|
|
H1τ |
|
B2 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tgα2 |
|
= |
|
µ2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tgα1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70