- •Министерство образования республики беларусь
- •Оглавление
- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Решение слау методом Гаусса
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения слау
- •Метод Зейделя
- •Пример решения задачи в MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Указание. Предусмотрите компактное размещение элементов матрицы в памяти эвм.
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 аппроксимация и интерполирование функций
- •Постановка задачи
- •Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
- •Локальная интерполяция
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3 численное интегрирование и дифференцирование функций
- •Постановка задачи численного интегрирования и методы её решения
- •Решение задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Постановка задачи численного дифференцирования и методы её решения
- •Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •Погрешность численного дифференцирования
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4 численное решение задачи коши
- •Постановка задачи
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Основы метода конечных разностей
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 6 решение задач теплопроводности
- •Постановка задачи и метод её решения
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Контрольные вопросы
- •Список источников
- •Компьютерные методы математического моделирования Лабораторный практикум для студентов специальности 1-40 01 02 Информационные системы и технологии
- •225404 Г. Барановичи, ул. Войкова, 21
Указание. Предусмотрите компактное размещение элементов матрицы в памяти эвм.
Таблица 1.2 — Индивидуальные задания к задаче 2
N |
n |
A | |
1 |
50 |
На главной диагонали элементы равны 1000, на первой наддиагонали элементы равны 1, на третьей наддиагонали элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 1 |
|
2 |
35 |
На главной диагонали элементы равны 100, на первой, второй и третьей наддиагоналях элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 1 | |
3 |
40 |
На главной диагонали элементы равны 100, на первой и второй наддиагоналях элементы равны 1, на второй поддиагонали элементы равны 3 | |
4 |
50 |
на главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 2, | |
5 |
40 |
На главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 2, на первой и второй поддиагоналях элементы равны 7 | |
6 |
30 |
На главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 47, на двадцатой наддиагонали равны 1, на первой поддиагонали равны 47, на двадцатой поддиагонали равны 1 |
Контрольные вопросы
Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.
Метод Гаусса с выбором главного элемента: описание метода, его вычислительная устойчивость.
Метод прогонки с трехдиагональной матрицей: описание метода, условия его применимости и достоинства.
Трудоемкость метода прогонки.
Итерационные методы решения СЛАУ.
Лабораторная работа 2 аппроксимация и интерполирование функций
Цель: изучить методы аппроксимации и интерполирования функций, научиться разрабатывать программные модули по предложенным алгоритмам.
Постановка задачи
Пусть функция задана таблично либо вычисление ее требует громоздких выкладок. Заменим приближенно функциюна какую-либо функциютак, чтобы отклонениеотбыло в заданной области в некотором смысле минимальным. Подобная замена называется аппроксимацией функции, а функция— аппроксимирующей (приближающей) функцией.
Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений ив точках (, т. е. . В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), точки — узлами интерполяции.
Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
В результате эксперимента были получены следующие данные:
-
…
…
Аналитическая зависимость неизвестна.Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции, заданной таблично, к модельной аналитической функции.
Для этого построим аппроксимационный многочлен вида:
.
Коэффициенты определяются по методу наименьших квадратов. Функционалрассчитывают по формуле
.
Суть метода наименьших квадратов:
После преобразования система слегка упростится:
(2.1)
Если полином первой степени, то в системе будут два уравнения, если — шестой степени, — то семь уравнений. Введём следующее обозначение — количество исходных значенийи.
, через обозначим сумму всех "у"-в:
С учётом этих обозначений система (1) перепишется следующим образом:
Пример. Найти значение y = f (x) при x = 0,4, заданной таблично:
-
i
0
1
2
3
xi
0
0,1
0,3
0,5
yi
–0,5
0
0,2
1