Указание. Предусмотрите компактное размещение элементов матрицы в памяти эвм.

Таблица 1.2 — Индивидуальные задания к задаче 2

N	n	A
1	50	На главной диагонали элементы равны 1000, на первой наддиагонали элементы равны 1, на третьей наддиагонали элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 1
2	35	На главной диагонали элементы равны 100, на первой, второй и третьей наддиагоналях элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 1
3	40	На главной диагонали элементы равны 100, на первой и второй наддиагоналях элементы равны 1, на второй поддиагонали элементы равны 3
4	50	на главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 1, на первой поддиагонали элементы равны 2,
5	40	На главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 2, на первой и второй поддиагоналях элементы равны 7
6	30	На главной диагонали элементы равны 100, на первой наддиагонали элементы равны 47, на двадцатой наддиагонали равны 1, на первой поддиагонали равны 47, на двадцатой поддиагонали равны 1

Контрольные вопросы

1. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.

2. Метод Гаусса с выбором главного элемента: описание метода, его вычислительная устойчивость.

3. Метод прогонки с трехдиагональной матрицей: описание метода, условия его применимости и достоинства.

4. Трудоемкость метода прогонки.

5. Итерационные методы решения СЛАУ.

Лабораторная работа 2 аппроксимация и интерполирование функций

Цель: изучить методы аппроксимации и интерполирования функций, научиться разрабатывать программные модули по предложенным алгоритмам.

Постановка задачи

Пусть функция задана таблично либо вычисление ее требует громоздких выкладок. Заменим приближенно функциюна какую-либо функциютак, чтобы отклонениеотбыло в заданной области в некотором смысле минимальным. Подобная замена называется аппроксимацией функции, а функция— аппроксимирующей (приближающей) функцией.

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений ив точках (, т. е. . В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), точки — узлами интерполяции.

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

В результате эксперимента были получены следующие данные:

				…
				…

Аналитическая зависимость неизвестна.Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции, заданной таблично, к модельной аналитической функции.

Для этого построим аппроксимационный многочлен вида:

.

Коэффициенты определяются по методу наименьших квадратов. Функционалрассчитывают по формуле

.

Суть метода наименьших квадратов:

После преобразования система слегка упростится:

(2.1)

Если полином первой степени, то в системе будут два уравнения, если — шестой степени, — то семь уравнений. Введём следующее обозначение — количество исходных значенийи.

, через обозначим сумму всех "у"-в:

С учётом этих обозначений система (1) перепишется следующим образом:

Пример. Найти значение y = f (x) при x = 0,4, заданной таблично:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1