Метод Зейделя
Данный метод
является модификацией метода простой
итерации и для системы (1.13)
имеет следующую технологию:
(1.16)
Суть его состоит
в том, что при вычислении очередного
приближения
в системе (1.16) и в формуле (1.15*), если имеет
место соотношение (1.15), вместо
используются уже вычисленные ранее
,
т. е. формула (1.15*) преобразуется к
виду
, i
= 1, …, n.
(1.17)
Это позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x0j заменить на xj и убрать строки x0i = 1, x0i = xi.
Пример решения задачи в MathCad
Проверка достаточного условия сходимости метода Зейделя
Достаточное условие выполнено.
Результат работы функции zeid — 10 первых приближений
Варианты индивидуальных заданий
Задача 1.
Разработайте
алгоритмы и решите систему линейных
уравнений (Таблица 1.1)
методами: a) матричным (MathCad);
б) Гаусса с выбором главного элемента;
в) простых итераций (MathCad);
г) Зейделя. Проанализируйте полученные
результаты с точки зрения сходимости
(расходимости) метода. Итерационными
методами решение задачи найдите с
точностью
УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользуйтесь перестановкой строк в исходной системе уравнений.
Таблица 1.1 — Индивидуальные задания к задаче 1
|
№ |
|
|
№ |
|
|
|
1 |
3 12 –1 0 –5 2 0 32 2 0 16 –3 12 3 0 0 |
18 –15 0 21 |
16 |
4 2 32 0 2 30 0 –4 36 0 4 –5 0 0 11 40 |
–19 39 40 31 |
Продолжение табл. 1.1
|
2 |
4 20 1 0 16 2 0 –2 –4 0 4 32 2 0 10 0 |
24 –13 0 7 |
17 |
4 –5 40 0 10 –4 0 50 32 0 4 –4 0 32 0 –9 |
19 0 34 –49 |
|
3 |
2 16 –3 0 –8 5 0 40 25 0 –2 3 0 –3 20 0 |
9 98 5 –7 |
18 |
9 40 2 0 12 –4 0 96 –4 0 64 8 36 0 0 9 |
81 119 –15 7 |
|
4 |
5 –2 32 0 4 25 0 –3 20 0 2 –7 0 0 –9 40 |
27 34 –28 5 |
19 |
7 –5 64 0 9 50 0 –4 0 9 –7 80 40 11 0 0 |
18 0 128 –19 |
|
5 |
–7 2 40 0 9 –5 0 50 25 0 4 –1 0 32 0 9 |
21 –14 13 21 |
20 |
11 64 –2 0 50 3 0 –12 0 13 –9 100 17 0 80 0 |
–34 0 131 85 |
|
6 |
8 40 –3 0 –7 5 0 50 8 0 64 –11 32 0 0 5 |
28 0 18 12 |
21 |
15 80 –4 0 64 7 0 –5 0 11 –8 128 0 37 100 0 |
93 131 –34 125 |
|
7 |
–9 4 64 0 10 50 0 –4 0 –14 7 80 40 9 0 0 |
24 –5 14 29 |
22 |
17 100 –9 0 80 –7 0 –5 0 21 128 –4 0 0 19 256 |
0 –79 139 –54 |
|
8 |
–8 64 5 0 50 –13 0 2 0 17 –9 100 –11 0 80 0 |
37 38 0 115 |
23 |
4 –1 20 0 18 3 0 –2 0 10 1 –1 0 4 0 20 |
38 –14 15 29 |
|
9 |
–13 80 2 0 64 9 0 –5 0 12 –9 128 0 27 100 0 |
64 29 0 231 |
24 |
3 20 –2 0 5 –4 0 20 0 5 32 –3 12 0 0 3 |
41 –19 34 29 |
|
10 |
–13 100 9 0 80 10 0 –5 0 –14 128 7 0 0 31 256 |
–128 34 95 –69 |
25 |
4 25 –1 0 6 5 0 40 25 0 3 4 0 –5 30 0 |
17 0 –34 9 |
|
11 |
1 –2 16 0 10 –1 0 1 0 12 1 –1 0 2 0 16 |
31 0 –28 29 |
26 |
9 –2 36 0 4 25 0 –3 40 0 5 –4 0 0 11 40 |
19 –18 44 21 |
|
12 |
2 20 –3 0 4 –2 0 24 0 2 16 –1 12 0 0 3 |
39 0 –25 18 |
27 |
9 –2 40 0 11 –3 0 50 30 0 –4 5 0 32 0 8 |
78 –114 –21 40 |
|
13 |
2 16 –1 0 3 –8 0 60 4 0 24 –3 12 3 0 0 |
32 –64 0 45 |
28 |
2 40 5 0 4 –9 0 72 4 0 64 8 36 0 0 9 |
42 88 119 54 |
Окончание табл. 1.1
|
14 |
5 –2 40 0 4 32 0 –6 7 0 3 32 20 0 4 0 |
39 0 21 –19 |
29 |
8 –3 64 0 –7 50 0 5 0 12 –9 80 40 9 0 0 |
131 –84 52 78 |
|
15 |
5 30 –3 0 –8 5 0 40 24 0 3 –4 0 7 25 0 |
17 31 39 8 |
30 |
7 64 –2 0 50 5 0 –8 0 18 5 112 15 0 80 0 |
111 98 219 –31 |
Задача 2. Дана система уравнений Ax = b порядка n с разреженной матрицей A. Разработайте проект решения системы (табл. 1.2) методом прогонки.