- •Министерство образования республики беларусь
- •Оглавление
- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Решение слау методом Гаусса
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения слау
- •Метод Зейделя
- •Пример решения задачи в MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Указание. Предусмотрите компактное размещение элементов матрицы в памяти эвм.
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 аппроксимация и интерполирование функций
- •Постановка задачи
- •Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
- •Локальная интерполяция
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3 численное интегрирование и дифференцирование функций
- •Постановка задачи численного интегрирования и методы её решения
- •Решение задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Постановка задачи численного дифференцирования и методы её решения
- •Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •Погрешность численного дифференцирования
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4 численное решение задачи коши
- •Постановка задачи
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Основы метода конечных разностей
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 6 решение задач теплопроводности
- •Постановка задачи и метод её решения
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Контрольные вопросы
- •Список источников
- •Компьютерные методы математического моделирования Лабораторный практикум для студентов специальности 1-40 01 02 Информационные системы и технологии
- •225404 Г. Барановичи, ул. Войкова, 21
Метод Гаусса с выбором главного элемента
В данном случае помимо соблюдения условия akk 0 при реализации формул (1.2—1.4) необходимо, чтобы ведущий (главный) элемент в текущем столбце в процессе преобразований исходной матрицы имел максимальное по модулю значение. Это также достигается перестановкой строк матрицы.
Блок-схема модифицированного метода Гаусса представлена на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 — Блок-схема модифицированного метода Гаусса
Проведем анализ предложенной схемы на примере системы n = 3 ( = 0,001).
; . |
(*) |
Блок 1. Ввод исходных данных: n — порядок системы, A — матрица коэффициентов при неизвестных, b — вектор свободных членов.
Блок 2. I цикл прямого хода (для k, изменяющегося от 1 до предпоследнего значения, т. е. до n – 1) обеспечивает исключение из главной диагонали матрицы А элемента akk = 0 благодаря поиску максимального элемента akk в текущем столбце, осуществляемому в блоках 3 6 с помощью II цикла.
Далее, с помощью III цикла, в блоках 7 13 выполняется перестановка текущей строки и строки с максимальным элементом в k-м столбце (ее номер р).
Затем реализуются расчеты по формулам (1.3) прямого хода Гаусса в блоках IV и V циклов.
Проведем поблочный анализ в среде рассмотренных I V циклов на примере.
Блок 3: .
Вход во II цикл.
Блок 4: доn = 3.
Блок 5: < . из (*)
Блок 6: .
Блок 4: .
Блок 5: <. из (*)
Блок 6: .
Выход из II цикла и вход в III цикл блоки 7 10 выполняют перестановку строк матрицы А поэлементно:
Блок 7: (j от 1 до 3).
Блок 8: r = = 2. из (*)
Блок 9: .
Блок 10: .
Блок 7: .
Блок 8: .
Блок 9: .
Блок 10: .
Блок 7 и по аналогии
Выход из III цикла и вход в Блок 11 и далее 12 13 выполняют аналогичную перестановку значений свободных членов:
Вход в IV цикл с измененной системой
;
|
(**) |
для пересчета b2 вектора
до n = 3,
, из (**)
. из (**)
Вход во вложенный V цикл для пересчета второй строки:
(i от 1 до 3);
.
Выход из V цикла и вход в IV цикл:
Вход в Блок 16:
Выход из IV цикла и вход в V цикл в Блок 17:
(i от 1 до 3);
Выход из V цикла с преобразованной системой
; (***)
и вход по линии А в I цикл:
Вход в Блок 5:
. из (***)
Выход из II цикла и вход в III цикл:
(j от 2 до 3);
из (***)
из (***)
В данном случае на диагонали оказался максимальный элемент, поэтому перестановка 2-й и 3-й строк не выполняется.
Выход из III цикла и вход в I цикл в Блок 11:
Свободный член b2 остается на своем месте.
Вход в IV цикл:
из (***)
. из (***)
Выход из IV цикла и вход в V цикл:
(i от 2 до 3);
Выход из V цикла и выход из I цикла.
Обратный ход метода Гаусса
В Блоках 1924 реализуются формулы (1.4).
В Блоке 19 из последнего уравнения находится значение xn (n = 3)
Вход в VI цикл (Блок 20), в котором значение переменной цикла k изменяется от n–1 до 1 с шагом (–1):
Блок 21: .
Вход в VII цикл (Блок 22):
Выход из VII цикла на Блок 24 в VI цикл:
Далее по аналогии:
Выход из VII последнего цикла.
В Блоке 25 (цикл опущен) выполняется вывод на экран полученного решения СЛАУ — вектора , т. е.xi, i = 1, ..., n. В нашем случае (1; 0; 1).