Погрешность численного дифференцирования

Аппроксимируя исследуемую функцию, ее представляют в виде:

. (3.10)

В качестве (x) можно принять либо интерполяционную функцию, либо частичную сумму ряда. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда или P_n – 1(x). Дифференцируя функцию (3.10) необходимое число раз, находим:

и т. д.

Тогда погрешность аппроксимации при численном дифференцировании функции, заданной таблицей с шагомh зависит от h, и ее записывают в виде О(h^k). Показатель степени k называют порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что |h| < 1.

Тогда y'₁ = является аппроксимацией первого порядка (k = 1). Следовательно для произвольного узла .

А по всему отрезку [a; b], где h = (b  a) / n для f '(x) погрешность не превысит величины

.

Погрешность на отрезке [a, b] для второй производной оценивается соотношением

.

Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Считают, что при численном дифференцировании функции y = f (x), заданной таблично, имеют место два типа погрешностей:

а) погрешности усечения, которые вызываются заменой функции y = f(x) интерполяционным многочленом P_n(x);

б) погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений y_i.

При этом известно, что с уменьшением шага численного дифференцирования погрешность округления возрастает, а погрешность усечения, как правило, убывает. Поэтому при вычислениях по формулам численного дифференцирования стоит задача и оптимального выбора шага h.

Контрольные вопросы

1. Каковы преимущества формулы парабол по сравнению с формулой трапеций и следствием чего они являются?

2. В каких случаях приближенные формулы трапеций и парабол оказываются точными?

3. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага?

4. Каким способом можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования?

5. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?

Лабораторная работа 4 численное решение задачи коши

Цель: изучить численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), научиться разрабатывать программные модули по предложенным алгоритмам.

Постановка задачи

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

. (4.1)

Требуется найти на отрезке решение, удовлетворяющее начальному условию

. (4.2)

Классы дифференциальных уравнений, для которых разработаны методы получения точных решений, охватывают только малую часть возникающих на практике задач. Численные же методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них.

Рассмотрим простейший численный метод — метод ломаных (метод Эйлера).

Пусть требуется решить задачу Коши: . На промежутке введём сетку . В методе Эйлера приближённые значения искомой функции вычисляются последовательно по формуле , где .Геометрический смысл метода Эйлера состоит в том, что искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломаной с вершинами в точках .

Для оценки погрешности приближённых значений пользуются двойным пересчётом: расчёт на промежутке повторяют с шагом и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают по формуле .

Будем предполагать, что условия теоремы существования и единственности выполнены. Для решения используем метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (4.3)) и метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (4.4)) с шагом h и 2h. Отметим, что результаты могут сильно отличаться ввиду того, что метод Эйлера, имея только первый порядок точности, используется, как правило, для оценочных расчетов. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта вычислим по формуле (4.5).

, (4.3)

где h — шаг разбиения.

, (4.4)

где

.

=. (4.5)

Если функция y(x) на каком-нибудь промежутке нарастает очень быстро, то имеет смысл доработать данный алгоритм, добавив в него проверку условия

. (4.6)

При невыполнении этого условия шаг нужно уменьшить вдвое, повторить вычисление слагаемых k₁, k₂, k₃, k₄ и повторить проверку условия (4.6) и т. д. Такая модификация метода позволит существенно увеличить его точность.

Блок-схема алгоритма простейшей реализации метода Рунге-Кутта представлена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 — Блок-схема алгоритма метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности

Пример. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка

и оценить погрешность решения задачи.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Задаем исходные данные: функцию f правой части, начальное значение .

2. Используя функцию eyler, находим приближенное решение задачи Коши с шагом h = 0,1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, находим приближенное решение задачи Коши с шагом h = 0,1 по методу Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

4. Находим решение задачи Коши аналитически.

5. Строим таблицы значений приближенных и точного решений. На одном чертеже представляем графики приближенных и точного решений.

6. Оцениваем погрешность приближенных решений двумя способами:

a) по формуле ; здесьи— значения точного и приближенного решений в узлах сетки, i = 1, …, N;

б) по правилу Рунге (по правилу двойного пересчета).

7. Выясняем, при каком значении шага h = h* решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6, а), как решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h = 0,1.

УКАЗАНИЕ. Рекомендуется в п. 7 провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.